¿Es posible resolver esta ecuación usando la función W de Lambert?

Aug 16 2020

Me encontré con una ecuación que debe resolverse mientras trabajaba en un proyecto escolar. Intenté usar el Lambert$W$función para resolver la siguiente ecuación pero no he tenido éxito. ¿Es posible resolver$x$ sin métodos numéricos?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Respuestas

RobertIsrael Aug 16 2020 at 23:18

No parece posible resolver esto en general utilizando Lambert W.Sería posible si $a$ o $b$ fue $0$.

Puede probar una solución en serie si uno de los parámetros puede considerarse pequeño. Así, una serie en potencias de$k$ es

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

ClaudeLeibovici Aug 17 2020 at 12:24

Desde un punto de vista formal, puedes hacerlo.

Reescribe la ecuación como $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$que tiene una solución en términos de la función de Lambert generalizada .

Solo eche un vistazo a la ecuación $(4)$ en el documento vinculado.

Esto es bueno pero no muy útil desde un punto de vista práctico.

Como necesitará un método numérico, necesita una estimación para encontrar el (los) cero (s) de la función

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. La primera derivada es$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ cancela a las $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ Si $x_*$existe, realice una expansión de Taylor alrededor de este punto para obtener una estimación $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Probemos con $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

Esto le dará $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

Luego $x_0=1.58434$ mientras que la solución exacta es $x=1.50069$.

Desde que tenemos $x_0$, veamos iteraciones del método de Newton; ellos estarán$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$