¿Es posible tener un pedido anticipado con diferentes tipos de morfismos?
No soy matemático, soy bastante nuevo en la teoría de categorías y tendría la siguiente pregunta:
¿Es posible tener un pedido anticipado con diferentes tipos de morfismos? Cada par entre cada objeto todavía tiene un solo morfismo. Sin embargo, el morfismo en cuestión es siempre diferente (excepto el morfismo de identidad).
Un ejemplo informal: siguiendo el enfoque de David Spivaks [1] Olog, imagina un perro hambriento que siempre come la comida que compra su dueño.
Suponga tres objetos: A Dogowner O, Dog D y Dog Food F. Suponga además cuatro morfismos: "posee", "come", "compra" (abreviatura de "compra comida para perros" que es lo único que compra) y " es".
Cada uno de los objetos son ellos mismos, por lo que hay un morfismo "es" de cada objeto a sí mismo. En consecuencia, D "posee" O, O "come" F y D "compra" F. Finalmente, el perro, por definición, siempre tiene hambre y come toda la comida que se le da, por lo que debe considerar que
"posee" o "come" = "compra".
La pregunta en este caso: ¿sería un pedido anticipado? Cumple con todos los criterios para una categoría: se dan morfismos de identidad y composicionalidad. Siguiendo [2] también cumple los criterios para un preorden de que "un proset es una categoría delgada (estricta): una categoría estricta tal que para cualquier par de objetos x, y, hay como máximo un morfismo de xay. "
Sin embargo, no he visto nada similar en ninguno de los ejemplos habituales: ⊆ y ≤ son los ejemplos habituales de pedidos anticipados y son los únicos morfismos aplicados a los objetos de la categoría.
Saludos cordiales Pavel
PD: No se me ocurre un ejemplo más "formal" que puede ser un indicador de que estoy en el camino equivocado.
FUENTES:
[1] Spivak, David I, Robert E. Kent, "Ologs: un marco categórico para la representación del conocimiento" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
Respuestas
Sí, este es un pedido por adelantado. Una de las ideas clave de la teoría de categorías es que, a menudo, las propiedades abstractas de los objetos (y los morfismos entre ellos) son más importantes que sus descripciones concretas. Como ha señalado, la categoría que ha descrito no "parece un pedido por adelantado", porque los morfismos no tienen nombres como$\subseteq$ o $\leq$. Pero la teoría de categorías no se preocupa por los nombres. Su categoría satisface la definición de un pedido anticipado, por lo que, por ejemplo, si tuviera algún teorema elegante sobre los pedidos anticipados, sería perfectamente válido aplicarlo a esta categoría.
La respuesta corta es sí. Los nombres / significados de los morfismos no son parte de los datos: lo importante es cómo se componen los morfismos. Recuerda que definir una categoría es especificar el conjunto de objetos y el conjunto de morfismos (junto con las identidades y composición). (Puede ser que$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ no es, estrictamente hablando, un conjunto bien formado, porque a priori los elementos no han sido definidos, aunque en general es inofensivo considerarlo un conjunto, porque tomar cualquier conjunto de cardinalidad 3 será adecuado). no dude en etiquetar los morfismos como desee: si olvida los nombres y solo considera el gráfico subyacente junto con la estructura de composición, verá que tiene exactamente un pedido por adelantado.