Escribe$(4x+1)^n$como la combinación lineal de ciertos polinomios
Dejar$$ P_m(x):=\begin{cases}4x+1\quad&\ \text{if}\ m=1,\\ 0\quad&\ \text{if}\ m=2,\\ 8x^m+(x+1)^{m-3}(2x+1)^3\quad&\ \text{if}\ m\geq3.\end{cases} $$Cómo probar que para cualquier entero impar positivo$n$, existen números enteros$a_1^{(n)},a_2^{(n)},\ldots,a_n^{(n)}$tal que$$ (4x+1)^n=\sum_{k=1}^n a_k^{(n)}P_k(x). $$
Respuestas
Disfruté mucho esta pregunta! Mi solución contiene dos ideas, cada una de las cuales aborda uno de dos subproblemas distintos:
- Demostrar que los coeficientes$a_m^{(n)}$son enteros ;
- Demostrar que los coeficientes$a_m^{(n)}$ existir _
El subproblema (1) no es completamente obvio porque los polinomios$P_m$no son mónicos. Sin embargo, tenemos suerte aquí! La idea simple aquí es renormalizar la variable como$x=y/4$y limpie los denominadores apropiadamente, observando que hay una coincidencia afortunada de 2 ádicos que hace que este enfoque funcione.
El subproblema (2) no es obvio y bastante molesto porque$P_0=P_2=0$. En otras palabras, no hay ningún valor distinto de cero$P_m$de grado$0$y$2$, por lo que a priori la eliminación lineal puede dejarnos con un resto de grado como máximo 2. La idea de ir aquí está más oculta (¡y más bonita!). Comienza esencialmente reescribiendo el problema como$$ (4x+1)^n = 8x^3 A(x) + (2x+1)^3 A(x+1) $$y encontrar alguna simetría oculta. Incluso puede darse el caso de que esta observación sea útil para encontrar los coeficientes$a_m^{(n)}$explícitamente.
Entonces, comencemos la prueba. Después del cambio de variable$x=y/4$el polinomio$(4x+1)^n$se convierte$(y+1)^n$, que tiene coeficientes enteros en la variable$y$.
En cambio, los polinomios$P_m(x)$por$m\geq 3$convertirse en:
$$ P_m(y/4) = \frac 8 {4^m} y ^m + \left(\frac{y+4} 4 \right)^{m-3} \left(\frac{y+2} 2 \right)^3. $$
Ahora es tentador multiplicar por$4^m/8$para borrar todos los denominadores, sino que multiplicaremos por$4^{m-2}$, es decir, un factor de 2 menos que el codicioso.
Entonces, para$m\geq 3$definir$Q_m(y):=4^{m-2} P_m(y/4)$y calculamos que
$$ Q_m(y) = \frac 1 2 y^m + (y+4)^{m-3}\frac{(y+2)^3} 2 $$
Ahora, debes notar, expandiendo los binomios y los productos, que todos los términos$y^k$con$k<m$multiplicarse por alguna potencia positiva de 2 o 4, antes de dividirse por el segundo 2 en el denominador. Por lo tanto, son todos números enteros. Además, el coeficiente principal de$Q_m$(el que multiplica$y^m$) es igual a$1/2 + 1/2=1$(aquí está la afortunada coincidencia de 2-ádicos). Resumiendo, tenemos:
Lema 1 Para todos$m\geq 3$tenemos eso$Q_m(y)$es un polinomio mónico en$y$con coeficientes enteros y grado$m$.
Concluimos lo siguiente:
Corolario 1 Para todos$n$existen enteros (¡únicos!)$b_m^{(n)}$tal que
$$ (y+1)^n = \sum_{m=3}^n b_m^{(n)} Q_m(y) + R(y) $$
para algún polinomio$R(y)$con coeficientes enteros de grado a lo sumo 2.
Tenga en cuenta que hasta ahora no usamos ninguna información sobre el polinomio dado$(y+1)^n$. Nótese también que si pudiéramos demostrar que$R(y)$es múltiplo de$P_1(y/4)=y+1$, que ignoramos hasta ahora, eso terminaría la prueba.
Para probar esto, se me ocurrió el siguiente argumento. Primera nota que$$ Q_m(y) = \frac {y^3} 2 y^{m-3} + \frac {(y+2)^3} 2 (y+4)^{m-3}, $$entonces la combinación lineal de$Q_m$Se puede escribir como$$ \sum_{m=3}^n b_m^{(n)} Q_m(y) = \frac {y^3} 2 S(y) + \frac {(y+2)^3} 2 S(y+4), $$dónde$S$es el polinomio de grado máximo$n-3$dada por$$ S(y) :=\sum_{m=3}^n b_m^{(n)} y^{m-3}. $$
Es conveniente (para "aumentar la simetría") escribir$S(y)=T(y-1)$para algún otro polinomio$T$del mismo grado. Luego volveremos a cambiar de variable$z=y+1$, por lo que la ecuación polinomial en el Corolario 1 dice lo siguiente:
$$ z^n = \frac {(z-1)^3} 2 T(z-2) + \frac {(z+1)^3} 2 T(z+2) + R(z-1). $$
Ya que$T$es un polinomio de grado a lo sumo$n-3$, tenemos eso$z^n-R(z-1)$es igual a una combinación lineal de términos de la forma$$ F_m(z) = \frac {(z-1)^3} 2 (z-2)^{m-3} + \frac {(z+1)^3} 2 (z+2)^{m-3} $$por$3\leq m\leq n$.
¡Ahora explotamos la simetría! Notamos eso$F_m(z)$es un polinomio mónico (con coeficientes enteros, pero no lo necesitamos aquí) de grado$m$que satisfacen la ecuación par/impar:$$ F_m(-z) = (-1)^m F_m(z). $$Por lo tanto,$F_m(z)$o tiene solo monomios de grado impar, o solo monomios de grado par. Escribe$$ z^n-R(z-1) = \sum_{m=3}^n c_m^{(n)} F_m(z). $$vamos a demostrar que$c_m^{(n)}=0$incluso para todos$m$. Supongamos lo contrario, y dejemos$M$ser el numero par mas grande$3\leq M\leq n$tal que$c_M^{(n)}\neq 0$. Por lo que dijimos antes (cada$F_m$es monic de grado$m$e impar/par) vemos que solo$c_m^{(n)}F_m(z)$con$m=M$contribuye con un múltiplo distinto de cero del monomio$z^M$. Por lo tanto$c_M^{(n)}z^M$aparece como el único monomio de grado$M$en la expansión de potencia del polinomio$z^n-R(z-1)$. Sin embargo,$n$es impar por suposición (en la pregunta) y$R(z-1)$Tiene grado máximo 2 por construcción. Por lo tanto$z^n-R(z-1)$no contiene ningún término de grado$M$; eso es una contradicción. Esto demuestra que solo$F_m$con impar$m$aparecen en la expansión en la pantalla de arriba. Resumiendo:
Lema 2 Vamos$R$ser como en el Lema 1. Entonces$z^n-R(z-1)$es una función polinomial impar.
Ya que$z^n$en sí mismo es impar, conseguimos que$R(z-1)$es impar. Ya que$R$es un polinomio de grado máximo 2, puede ser impar solo si es un múltiplo escalar del monomio lineal$z$. Concluimos
Corolario 2 $R(y)=b_1^{(n)} (y+1)$para algún escalar$b_1^{(n)}$. (con mayor razón,$b_1^{(n)}\in\mathbb Z$)
Del Corolario 1 y el Corolario 2 obtenemos la solución buscada, con$a_1^{(n)}=b_1^{(n)}$y$a_m^{(n)}= 4^{m-2}b_m^{(n)}$para todos$m\geq 3$.