espacio de bucle de un complejo CW finito

Question

Dejar $X$ ser un complejo CW puntiagudo conectado finito y $H_{\ast}(\Omega X)$ la homología integral del espacio de bucle en $X$. ¿Son los grupos de homología$H_{n}(\Omega X)$ grupos abelianos finitamente generados para cualquier $n$ ?

Si la respuesta es negativa, ¿cuáles son las condiciones suficientes para imponer $\pi_{1}(X)$ tal que los grupos de homología $H_{n}(\Omega X)$ resulta ser finitamente generado?

Mi objetivo es recopilar diferentes condiciones suficientes sobre el grupo fundamental para el que se da una respuesta positiva.

Answer 1

Esto es cierto para finitos $\pi_1$ y falso por infinito $\pi_1$: Dejar $\widetilde{X}$ denotar la cubierta universal de $X$, luego $\Omega\widetilde{X}$ es el componente conectado a la unidad de $\Omega X$, y $\Omega X = \coprod_{\pi_1(X)} \Omega\widetilde{X}$. Así que si$\pi_1$ es infinito, entonces ciertamente $H_0(\Omega X)$ no se genera de forma finita como otros han señalado en los comentarios, y de hecho si $\Omega\widetilde{X}$ tiene algún grupo de homología no trivial (lo cual es cierto a menos que $\widetilde{X}$ es contráctil), algún grupo de homología superior de $\Omega X$ será una suma directa infinita de grupos abelianos no triviales, por lo que tampoco se generará de forma finita.

Si $\pi_1$ es finito, por otro lado, $\widetilde{X}$es de nuevo un complejo CW finito, por lo que en ese caso basta con mirar el caso simplemente conectado. Para un complejo CW finito simplemente conectado$X$, $H_*(\Omega X)$ de hecho consiste en grupos abelianos generados finitamente, que se remonta a Serre (y se demuestra fácilmente usando la secuencia espectral que lleva su nombre).