Espacio de columna y complemento ortogonal
Tengo una pregunta y realmente no sé cómo resolverla. Lo probé y probablemente mi solución sea$\textit{wrong}$por decir lo menos. ¡Aquí vamos!
Supongamos que tenemos $A_{m \times n}.$ Demuestre o refute la afirmación: Cada vector en $\mathbf{R^n}$ es cualquiera $C(A)$ o $C(A)^\perp$o ambos. Dónde$C(A)$ es el lapso del espacio de la columna de $A$ y $C(A)^\perp$ es el complemento ortogonal de $A$.
Mi opinión: cada matriz dice $A$, tiene el rango de propiedad$(A) \leq n$.
Entonces si el rango$(A)<n$, entonces al menos una columna (vector) de $A$ es linealmente dependiente y de rango$(A) <$ rango $(\mathbf{R^n})$ lo que implica que $A$ no abarca $\mathbf{R^n}$ para que tengamos $$\text{rank } \mathbf{(R^n)} = \text{ rank} (A) + \text{ rank } (A^\perp) $$ Del mismo modo, si el rango$(A)=n$, luego todas las columnas (vectores) de $A$ son linealmente independientes y de rango$(A) =$ rango $(\mathbf{R^n})$ lo que implica que $A$ tramos $\mathbf{R^n}$ para que tengamos $$\text{rank } \mathbf{(R^n)} = \text{ rank} (A) $$
Respuestas
Esto está mal. Considera el$2\times 1$ matriz $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right)$, entonces el espacio de la columna es $U=\operatorname{span}\left( \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right)\right)$ y su complemento ortogonal es $U^\perp=\operatorname{span}\left( \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right)\right)$.
El vector $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right)$ no es un elemento de $U$ y ninguno de $U^\perp$.
Las otras respuestas parecen mezclar sindicatos y sumas directas.
Cualquier subespacio y su complemento ortogonal dividen el espacio dado $R^n$. Entonces cualquier vector en$R^n$ cualquiera pertenece a algún subespacio U en $R^n$ o pertenece a $U^{\perp}$(el vector cero pertenece a ambos). Para mí, parece que no necesitamos analizar la propiedad de$C(A)$.
Entonces miro más de cerca $C(A)$ aquí hay un subespacio en $R^m$, así que si no hay ningún error tipográfico, diría que la declaración es incorrecta.