Está probando ' $X$ es Hausdorff paracompacto iff $X\times Y$ es $T_4$ para todos los Hausdorff compactos $Y$'sin el teorema de Tamano posible?
$X$ es Hausdorff paracompacto iff $X\times Y$ es $T_4$ para todos los Hausdorff compactos $Y$
Para este teorema, la implicación directa tiene una demostración estándar, mientras que la implicación inversa generalmente se demuestra usando el teorema de Tamano, que usa compactaciones.
Sin embargo, no sé mucho sobre compactaciones. Entonces, preferiría que hubiera una prueba de la implicación inversa de no usarlo. Intenté buscar en línea, pero fue en vano. Entonces, ¿existe tal prueba? ¡Cualquier ayuda sería apreciada!
Respuestas
El lema 2.5 (y los resultados que lo rodean) hacen la mayor parte del trabajo en este artículo clásico de Morita, quien demostró esto primero. Usó un espacio de prueba compacto de los ordinales$W(\omega_\alpha + 1)$y no utiliza compactaciones en un vistazo superficial a la prueba. Es una generalización (en cierto sentido) del resultado de Dowker en espacios contablemente paracompactos.
Si se cumple la condición del lado derecho, por cada cardenal $\mathfrak{m}$, $X \times [0,1]^{\mathfrak{m}}$ es $T_4$ lo que implica que $X$ es $\mathfrak{m}$-paracompacto para todos los cardenales (esto está en el papel) (y ya Hausdorff trivialmente). Entonces$X$ es Hausdorff paracompacto.
Este artículo general de 2002 de Noble también puede interesarle, ya que trata sobre cuestiones similares. También trata el teorema de Noble de que si$X$ es $T_1$ y $X^\kappa$ es normal para todos $\kappa$, luego $X$ es compacto.