Estructura de las sumas de columnas de matrices ortonormales reales

Question

Supongamos que tengo una matriz ortonormal real cuadrada $A \in O(D)$. Me gustaría entender qué estructura existe en el conjunto de sumas de columna de$A$.

Por ejemplo, $O(2)$puede parametrizarse mediante un único escalar. Para ver por qué, considere$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$. Dado que la primera columna debe tener norma unitaria,$c = \sqrt{1 - a^2}$. Dado que la segunda columna debe ser ortogonal a la primera columna y también debe tener una norma unitaria,$b = -c$ y $d = a$. Por consiguiente,$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ y las sumas de las columnas son $a + \sqrt{1 - a^2}$ y $a - \sqrt{1 - a^2}$. Cuando trazo las sumas de las columnas en función de$a$, Observo estas bonitas curvas:

Mi pregunta es: ¿cómo se generaliza esta estructura a $O(D)$? ¿Se conserva alguna cantidad? Si ordeno las sumas de las columnas en orden decreciente, ¿se mantiene alguna relación entre ellas?

Quizás lo que me gustaría es algún teorema que diga "si las sumas de las columnas anteriores fueran $A, B, C,...$ entonces la suma de la siguiente columna es igual a $Z$ / acotado entre $[-X, Y]$"

Answer 1

Saber que el conjunto de todos los posibles vectores de suma de columnas es una esfera esencialmente responde a todas las preguntas posibles que podría querer hacer sobre dichos vectores. En concreto, tenemos:

Dejar $S(n)$ ser el conjunto de vectores de suma-columna de matrices ortogonales en $O(n)$. Luego$S(n)$ es igual a la esfera de radio $\sqrt n$ centrado en el origen.

De los comentarios:

¿Puedo decir algo más allá de eso? Dado que los vectores son ortonormales, sugiere que fijar uno (o varios) limita severamente qué puntos restantes de la esfera se pueden elegir.

Traer la hipótesis de que los vectores son ortonormales no puede obtener resultados más sólidos, ya que esa hipótesis está incrustada en el teorema de que el conjunto de todos los vectores de suma-columna es una esfera. Entonces, sí, fijar una o varias coordenadas restringe las otras, pero las restringe única y precisamente en el sentido de que deben elegirse de modo que el punto resultante termine en una esfera. No tiene sentido tratar de obtener más restricciones, ya que el resultado es que$S(n)$es igual a una esfera, no a un subconjunto de ella, ni a un superconjunto de ella, pero es igual. Por lo tanto, la restricción es lo más estricta posible.

Por ejemplo:

1. Puedes parametrizar $S(n)$, utilizando cualquier parametrización estándar de una esfera .

2. Si, si arreglas el primero $k$coordenadas, esto restringe las coordenadas restantes ya que todo el vector debe terminar en una esfera. Específicamente, las coordenadas restantes$a_{k+1}, ..., a_n$ debe ser elegido para que $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ En otras palabras, si $r^2=a_1^2+...+a_k^2$, las coordenadas restantes deben elegirse de una esfera de radio $\sqrt{n-r^2}$ en $(n-k)$-espacio dimensional.