Evaluar $\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx$
Me divertí mucho en esta respuesta donde trabajé$$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^4+x^3+x^2+x+1}}\,dx=\frac4{\sqrt{4\varphi+3}}F\left(\frac{3\pi}{10},m=8\varphi-12\right)$$ Pero, ¿qué sucede si el mayor exponente del polinomio del denominador no es $4$pero algún otro entero? En otras palabras, ¿existe una forma cerrada general o una expresión de serie única para $$\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx\ ?$$ Xa $n=5$ la respuesta es la anterior y para $n=4$ $$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^3+x^2+x+1}}\,dx=2^{-1/4}F\left(\cos^{-1}\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2},\frac12+\frac1{2\sqrt2}\right)$$ Las integrales para $n=1,2,3$divergir. Evaluar la integral para$n\ge6$sin embargo, parece inviable incluso con series; Si bien la suma del producto gamma en la respuesta de Jack d'Aurizio aquí parece bastante atractiva, solo funciona para$n=5$ - solo entonces se puede demostrar que la integral sobre $[0,\infty]$ es el doble de la integral sobre $[0,1]$, momento en el que incorporas funciones beta. El otro resultado en la respuesta de Jack es una suma doble, que se puede generalizar a otras$n$ pero no es muy elegante (en parte debido a la doble suma y en parte porque un límite de esa suma usa una función de piso).
Si un enfoque que resuelve la tarea también da integrales para el mismo integrando pero con otros límites (p. Ej. $[0,1]$), eso sería de agradecer.
Respuestas
Ofreceré una "expresión de serie única"; Con suerte, alguien con ojos de águila pueda detectar lo que es en términos hipergeométricos, logrando así una forma cerrada.
Xa $x\in[0,\,1]$, aplicar $x=\sin^{2/n}t$; para$x\ge1$, aplicar $x=\csc^{2/n}t$. En términos de símbolos de Pochhammer descendentes, la integral es$$\begin{align}&\frac2n\int_0^{\pi/2}(\sin^{2/n-1}t+\sin^{-3/n}t)\sqrt{1-\sin^{2/n}t}dt\\&=\frac2n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\int_0^{\pi/2}(\sin^{2(k+1)/n-1}t+\sin^{2(k-3/2)/n}t)dt\\&=\frac1n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}(\operatorname{B}(\tfrac{k+1}{n},\,\tfrac12)+\operatorname{B}(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12,\,\tfrac12))\\&=\frac{\sqrt{\pi}}{n}\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\left(\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}+\tfrac12\right)}+\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+1\right)}\right).\end{align}$$
Dejar $n\ge5$. $$J_n=\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx=\int_0^1\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx+\int_1^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ Entonces hazlo $x\mapsto 1/x$ en la segunda integral, y suma los dos juntos: $$J_n=\int_0^1\left(1+x^{(n-5)/2}\right)\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ Utilizando $$(1-q)^{-\alpha}=\,_1F_0(\alpha;;q),$$ tenemos $$\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}x^k,$$ dónde $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{k}[n|r]\frac{(\tfrac12)_{r/n}(-\tfrac12)_{k-r}}{(r/n)!(k-r)!},$$ con $[a|b]$ siendo el Iverson Bracket para $b/a\in\Bbb Z$: $$[a|b]=\left\lfloor \exp\left(a\left\lfloor \frac{b}{a}\right\rfloor-b\right)\right\rfloor.$$ Así $$J_n=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\int_0^1(1+x^{(n-5)/2})x^kdx=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\left(\frac1{k+1}+\frac{2}{2k+n-3}\right).$$ Tenemos, además, que $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{\lfloor k/n \rfloor}\frac{(\tfrac12)_{r}(-\tfrac12)_{k-nr}}{r!(k-nr)!}.$$ Dudo que exista una forma cerrada general.