Evaluar $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$
Evaluar $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$
Conjunto $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$
Entonces integral se vuelve $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$
Conjunto $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, entonces $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ y $v=r$
$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$
Pero la respuesta correcta es $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$
¿Alguien puede mostrarme dónde está mi error y también una mejor manera de resolver el problema? ¡Gracias!
Respuestas
No hay error. $C$ es una constante arbitraria y $-\frac 3 2+C$ es solo otra constante $C'$. Y no hay mejor manera de responder a esta pregunta.
Método alternativo
Considerar, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Reorganizando, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Entonces, integrando ambos lados puedes obtener la respuesta
Tu solución es correcta ya que una constante más otra constante se puede representar mediante una constante diferente, por lo que $-\frac{3}{2}+C=C_1$.
Como alternativa, puede integrar por partes y dejar $u=\ln(2x+3)$ y $dv=dx$. Luego$du=\frac{2}{2x+3}$ y podemos tomar $v=x+\frac{3}{2}$. Resulta que\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} ¡como se esperaba!