Evaluar $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx$

Question

Estoy tratando de evaluar explícitamente la siguiente integral $$ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx $$

Verifiqué en WolframAlpha que el valor de la integral es $2 \pi$. Usando esto, intenté lo siguiente.

---

Analizo el conjugado de la integral y veo que $$ \overline{\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx} = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\overline{\sin\left(e^{ix}\right)}}{\overline{e^{ix}}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{-ix}\right)}{e^{-ix}} dx \overset{\color{blue}{u = -x}}{=}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{iu}\right)}{e^{iu}} du $$lo que nos confirma que la integral es real. Desde aquí podemos simplificar nuestra integral encontrando$\Re\left(\frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} \right)$.

Para evitar el desorden, aquí definí $c(t) := \cos(t)$ y $s(t):= \sin(t)$. Teniendo esto en cuenta, lo entiendo\begin{align} \Re\left(\sin\left(e^{ix}\right)e^{-ix} \right) &= \Re\left(\sin(c + is) (c -is) \right) = \Re\left(\frac{e^{-s}e^{ic}-e^{s}e^{ic}}{2i} (c -is) \right)\\ &=\Re\left(\frac{1}{2}\left(e^{-s}\left[\underbrace{\color{blue}{c\{c\}}}_{\cos(\cos(t)} + i\underbrace{\color{blue}{s\{c\}}}_{\sin(\cos(t)}\right]- e^{s}\left[c\{c\} -i s\{c\}\right] \right) (-s -ic) \right)\\ &=\frac{1}{2} \left(-e^{-s}c\{c\}s + e^{s}c\{c\}s +e^{-s}s\{c\}c +e^s s\{c\}c \right)\\ &=s \cos(c) \left(\frac{e^s -e^{-s}}{2}\right) + c \sin(c) \left(\frac{e^s +e^{-s}}{2}\right)\\ &=\sin(t) \cos(\cos(t))\sinh(\sin(t)) + \cos(t) \sin(\cos(t))\cosh(\sin(t)) \end{align}Y aquí es donde me metí en líos, porque no tengo ni idea de cómo podría integrar esa última expresión. Intenté explotar la simetría, pero la función es pareja, así que no creo que pueda hacer mucho con ella sin encontrar una antiderivada (que suena muy desagradable).

¿Alguien sabe cómo podría terminar mi solución? O alternativamente, ¿alguien conoce una forma más sencilla de probar este resultado? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Dejar $z=e^{ix}$. Entonces la integral se convierte

$$\oint_{|z|=1} \frac{\sin(z)}{iz^2}\,dz$$

¿Puedes terminar?

Answer 2

Debería poder utilizar la fórmula integral de Cauchy. Tu integral se puede reescribir como$$\int_0^{2\pi}f(e^{ix})\,dx,$$ dónde $f(x)=\sin(x)/x$. Ahora sustituye$u=e^{ix}$, $du/u=idx$ para que tu integral se convierta $$\frac{1}{i}\int_\gamma \frac{f(u)}{u}\,du.$$ Aquí, $\gamma$denota el círculo unitario centrado en el origen en el plano complejo. Cauchy nos dijo que esta integral es solo$2\pi f(0)$, o en tu caso, $$2\pi.$$ EDITAR: De hecho, si $f$ es holomórfico en el disco unitario, tenemos que $$\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\,d\theta=2\pi f(0).$$

Answer 3

Considere la integral de contorno de $\frac{\sin(z)}{z^2}$ sobre el circulo $\gamma$. Parametrizar el círculo sobre el intervalo$[-\pi, \pi]$ Nos da $i \int \frac{\sin{e^{ix}}}{e^{iz}} dx$.

Podemos tomar la expansión de Taylor de $\sin(z)$ para conseguir que la integral del contorno sea igual a $\int_\gamma \sum\limits_{i = 0}^\infty \frac{z^{2i - 1}}{(2i + 1)!} dz$. Dado que la suma es uniformemente convergente sobre el círculo, podemos intercambiar la suma y la integral para obtener$\sum\limits_{i = 0}^\infty \int_\gamma \frac{z^{2i -1}}{(2i - 1)!}$. Pero para$i > 0$, esta es la integral de un monomio sobre un camino cerrado, por lo que el único término que importa es el $i = 0$ término.

Por tanto, la integral es igual a $\int_\gamma \frac{1}{z} dz = 2 \pi i$.

Entonces tu integral original es, de hecho, $2 \pi$.