¿Existe un concepto de límite de fórmulas?

Question

Me pregunto si existe una noción como el límite de fórmulas (y estructuras) porque creo que es importante para describir estructuras contables (a partir de estructuras finitas). (Para obtener más detalles, consulte este documento ). Ahora les doy un excelente ejemplo que lo ilustra. El ejemplo es el llamado átomo de Quine. Dejar$$ I_n=\{I_{n-1}\},\quad\text{for } n\geqslant1, \:\text{and } I_0=G_0. $$ Dónde $G_0\neq\{G_0\}$. Al aplicar repetidamente el axioma de extensionalidad, obtenemos\begin{align} \phi_n&\iff\exists !\:y_n\in I_n \\ &\iff \exists !y_n(y_n=I_{n-1}) \\ &\iff\exists !y_n((\exists !y_{n-1}\in y_n)(y_{n-1}\in I_{n-1})\land (\exists !y_{n-1}\in I_{n-1})(y_{n-1}\in y_n)) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n\land y_{n-1}\in I_{n-1}) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \exists !y_{n-1}(y_{n-1}=I_{n-2}) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land\exists !y_{n-1}((\exists !y_{n-2}\in y_{n-1})(y_{n-2}\in I_{n-2})\land(\exists !y_{n-2}\in I_{n-2})(y_{n-2}\in y_{n-1})) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \exists !y_{n-1}\exists !y_{n-2}(y_{n-2}\in y_{n-1}\land y_{n-2}\in I_{n-2}) \\ &\quad\:\vdots \\ &\iff \exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \bigwedge_{1\leqslant j\leqslant n-1}\exists !y_j\exists !y_{j-1}(y_{j-1}\in y_{j})\quad\quad\quad\quad\text{(1)} \end{align} Claramente, para cualquier $n<\omega$, $I_{n}\models \phi_n$. Esto sugiere que podemos definir el límite de fórmulas de la siguiente manera.

Editar: como se señaló en el ejemplo de @ Goldstern, las fórmulas para el límite no pueden ser demasiado generales. Entonces los limitamos a un$\aleph_0$-teoría categórica. (Sin embargo, podría extenderse a la teoría de una estructura numerablemente saturada).

Definición 1 : Suponga que para cualquier$n<\omega$, $\varphi_{n}$ está en un $\aleph_0$-teoría categórica $T$ en $L$ (un lenguaje infinitario de $L_{\omega_1, \omega}$) y $M_{n}\models \varphi_{n}$. Si por alguno$n$, hay un $N_n$ eso para cualquier $k>N_n,\:M_{k}\models \varphi_{n}$, entonces $\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_{n}$ es una fórmula (única) (hasta equivalencia) en $L$y $\lim_\limits{n\to\omega}M_{n}$ es un (único) $L$-estructura. Dejar$\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_{n}=\varphi_{\omega}$ y $\lim_\limits{n\to\omega}M_{n}=I_{\omega}$. Entonces$M_{\omega}\models \varphi_{\omega}$.

También los siguientes axiomas son válidos para el límite de fórmulas.

1. $\lim_\limits{n\to\omega}(\phi_{n}\land\varphi_n)=\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}\land\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_n$
2. $\lim_\limits{n\to\omega}\neg\phi_{n}=\neg\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$
3. $\lim_\limits{n\to\omega}\exists x\phi_{n}=\exists x\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$
4. $\lim_\limits{n\to\omega}\bigwedge_\limits{1\leqslant j\leqslant n}\phi_j=\bigwedge_\limits{ n<\omega}\phi_n$

Podemos probar de los axiomas anteriores que

1. $\lim_\limits{n\to\omega}(M_{n-1}\in M_n)=\lim_\limits{n\to\omega}M_{n-1}\in \lim_\limits{n\to\omega}M_{n}$

2. $\lim_\limits{n\to\omega}\exists x_n(M_{n-1}\in M_n)=\exists\lim_\limits{n\to\omega} x_n(\lim_\limits{n\to\omega}M_{n-1}\in \lim_\limits{n\to\omega}M_{n})$

(Para obtener pruebas detalladas, consulte este documento ).

$\operatorname{Th}(I_n)$ es $\aleph_0$-categorical porque cualquier $I_i$ se puede asignar uno a uno a $I_j$, por lo que es homogéneo. Dado que el lenguaje de la teoría de conjuntos es relacional finito,$\operatorname{Th}(I_n)$ es $\aleph_0$-categórico. Por definición 1 y (1), podemos ver que$\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$ y $\lim_\limits{n\to\omega}I_{n}$ambos son únicos. Dejar$\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}=\phi_{\omega}$ y $\lim_\limits{n\to\omega}I_{n}=I_{\omega}$. Entonces$I_{\omega}\models \varphi_{\omega}$. además\begin{align} \phi_{\omega}&=\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n} \\ &=\lim_\limits{n\to\omega}\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \lim_\limits{n\to\omega}\bigwedge_{1\leqslant j\leqslant n-1}\exists !y_j\exists !y_{j-1}(y_{j-1}\in y_{j}) \\ &=\exists !I_{\omega}(I_{\omega}\in I_{\omega})\land \bigwedge_{n<\omega}\exists !y_n\exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_{n})\quad\quad\quad(\lim_\limits{n\to\omega}y_n=I_{\omega}) \end{align}

Así $I_{\omega}=\{I_{\omega}\}$, es decir $I_{\omega}$ es un átomo de Quine.

Dado que el límite de fórmulas (para estructuras finitas) puede describir completamente el átomo de Quine, creo que jugará un papel importante en la investigación de estructuras contables. Me gustaría confirmar que la noción anterior de límite de fórmulas y razonamiento no está disponible en la teoría de modelos actual y, por lo tanto, pertenece a un nuevo campo de investigación.

Editar: A continuación, daré dos ejemplos sobre cómo aplicar el límite de fórmulas para estudiar algunos resultados conocidos en la teoría de modelos.

Ejemplo 1: Hay un gran número arbitrario en la teoría de números no estándar.

Dejar $\phi_n=\exists x\bigwedge_\limits{m\leqslant n}(x>m)$ y $M_n\models \phi_n$. Ya que para cualquier$k>n, \:x>k\to x>n, \:M_k\models \phi_n$. Entonces el límite de$\phi_n$ existe y $$ \lim_\limits{n\to\omega}\exists x\bigwedge_\limits{m\leqslant n}(x>m)=\exists x\bigwedge_\limits{n<\omega}(x>n) $$ Y hay un $M\models \exists x\bigwedge_\limits{n<\omega}(x>n)$.

El segundo ejemplo muestra que la teoría de DLO sin puntos finales es el límite de unión de cambios enteros.

Ejemplo 2: Suponga$T$ es la teoría de DLO sin puntos finales y $M_n=\bigcup_\limits{1\leqslant j<n}(\Bbb{Z}+j/n)$. Entonces$\lim_\limits{n\to\omega}\bigcup_\limits{n<\omega}M_n=\Bbb{Q}$ y $T = Th(\Bbb{Q})$.

Suponer $\varphi_n,\phi_n,\delta_n$ son oraciones que especifican las propiedades del ordenamiento lineal, un subconjunto denso y un conjunto sin puntos finales para $M_n$. Entonces

\begin{align} \varphi_n &= (∀x,y,z∈M_n)(x≤x∧(x≤y∧y≤x⇒x=y)∧(x≤y∧y≤z⇒x≤z)) \\ \phi_n &= (∀x,y∈M_n)(x<y⇒(∃z∈M_{l})(l>n∧x<z<y)) \\ \delta_n &= (∀x∈M_n)((∃y∈M_n)(y<x)∧(∃y∈M_{n})(x<y)) \end{align} Para cualquier $x,y∈M_{n}\:(x<y)$, establecer $N_{n}=2n$. Entonces$∀k>N_{n},\:∃z∈M_{k}$ ese $x<z<y$, es decir $M_{k}\models φ_{n}$. Ya que$ℤ\modelsϕ_{n}∧δ_{n},\:M_{k}\models ϕ_{n}∧φ_{n}∧δ_{n}$ y $T$ es $ℵ_0$-categórico, $\lim_\limits{n\to\omega}M_n$es único. Y\begin{align} \lim_\limits{n\to\omega}ϕ_{n} &=(∀x,y,z∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x≤x∧(x≤y∧y≤x⇒x=y)∧(x≤y∧y≤z⇒x≤z)) \\ \lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n} &=(∀x,y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<y⇒(∃z∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<z<y)) \\ \lim_\limits{n\to\omega}δ_{n} &=(∀x∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)((∃y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(y<x)∧(∃y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<y)) \end{align} Ya que $\lim_\limits{n\to\omega}ϕ_{n},\lim_\limits{n\to\omega}φ_{n}, \lim_\limits{n\to\omega}δ_{n}$ son axiomas de $Th(\Bbb{Q}),\: \lim_\limits{n\to\omega}M_n=\Bbb{Q}$ y $T = Th(\Bbb{Q})$.

Answer 1

No estoy seguro de qué axiomas de la teoría de conjuntos desea utilizar. Ciertamente no fundamento, pero supongo que al menos se permite el axioma singleton.

Considerar $M_0:= \{x\}$, dónde $x$ es cualquier elemento satisfactorio $x\not=\{x\}$. $M_{n+1}:=\{M_n\}$. Dejar$\varphi_n$ ser $\phi_n \wedge \psi$, dónde $\phi_n$ es tu fórmula, y $\psi$dice que el elemento único no es un elemento en sí mismo. Entonces por tus argumentos el límite$M_\omega$ debe satisfacer $M_\omega = \{M_\omega\}$, pero también debe satisfacer $\psi$, lo cual es una contradicción.

Entonces sus axiomas y reglas conducen a una prueba de $x=\{x\}$ para todos $x$.

Puede ser que me haya perdido algo. De hecho, solo estoy adivinando qué lenguaje formal estás usando.