¿Existe un nombre para los números complejos afines extendidos?

Question

Considere el camino $\widehat{\mathbb R}$ se relaciona con $\overline{\mathbb R}$. Este conjunto se relacionaría con$\widehat{\mathbb C}$ de manera similar, con $\aleph_1$ infinitos, cada uno en diferentes ángulos, formando algo así como un círculo con un radio infinito que encapsula el plano complejo.

Tal conjunto podría posiblemente definirse como: $$ \overline{\mathbb C}=\mathbb C \cup \left\{ x : (\exists \theta \in [0,2\pi)) \left[x=\lim_{r\to\infty} re^{i\theta} \right] \right\} $$

No estoy seguro de que lo anterior sea una definición rigurosa, pero siento que transmite el mensaje. ¿Hay alguna forma de definir rigurosamente esta estructura y tiene un nombre convencional?

Tenga en cuenta que no estoy hablando de $\widehat{\mathbb C}$, que contiene un solo punto para el infinito similar a la línea real proyectada extendida.

Answer 1

Creo que de lo que hablas es muy similar $\Bbb RP^2$, el 2-espacio proyectivo real. Hay un punto en el infinito para cada posible "dirección" en el avión.

La distinción es que en $\Bbb RP^2$, el punto en el infinito para las líneas en ángulo $\theta$ es el mismo que para las líneas en ángulo $\theta + \pi$. Podría decirse que a lo que realmente te refieres se le llama "disco de unidad cerrada", con puntos en$\partial D$correspondiente a sus puntos en el infinito. Pero es el disco con alguna geometría subyacente, etc., que no es el de la incrustación estándar.

En realidad, esto se ha estudiado con bastante cuidado, en una tesis doctoral de Jorge Stolfi en Stanford. Se llama Geometría Proyectiva Orientada y creo que fue publicado por IEEE, pero ha pasado mucho tiempo, así que no estoy seguro de esa última parte. De todos modos, hay una referencia sólida para ti. Aquí hay un enlace en Amazon:https://www.amazon.com/Oriented-Projective-Geometry-Framework-Computations/dp/148324704X