¿Existe una expresión de forma cerrada para $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?
Me gustaría preguntar si por $|x|<1$, podemos expresar el producto $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ como una función $f(x)$. Intenté usar el teorema de factorización de Weierstrass, pero sin mucho éxito.
Realmente agradecería una referencia o una solución.
Respuestas
Como ya se notó en los comentarios, la expresión se puede obtener de los productos infinitos para $\Gamma$(ya sea de Euler o de Weierstrass ):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ y el "algebraico" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, dando $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Esto se aplica fácilmente a los "productos infinitos racionales" más generales, como se describe aquí .
Comentario:
El límite de este producto se puede encontrar usando la desigualdad de Weierstrassn:
Si $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ son números enteros positivos reales menores que la unidad y:
$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$
entonces:
$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$
Donde podemos dejar:
$a_n=\frac x {n^3}$