¿Existe una forma diferente de dividir números en dígitos?

Question

Estaba mirando un gráfico que visualizaba la constante de Euler-Mascheroni ($\gamma$), como se muestra a continuación, y surgió una pregunta interesante.

Antecedentes: la constante de Euler-Mascheroni, para tomar la definición directamente de la página de Wikipedia vinculada anteriormente, es la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural . Básicamente, el "logaritmo natural del infinito" (no tan riguroso), o$\lim_{x \to \infty} \ln(x)$, es infinito, y también lo es la serie armónica, o $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$. Pero si resta este logaritmo natural infinito de la serie armónica, obtiene un número finito alrededor$0.57721$, llamada constante de Euler-Mascheroni.

Pregunta: Como la serie armónica es una función escalonada ,$\gamma$ es la suma de las "contribuciones" de un número infinito de secciones, que se muestra a continuación como la primera sección púrpura que cubre $x \in [1, 2)$, la segunda sección púrpura que cubre $x \in [2, 3)$, la tercera cubierta $x \in [3, 4)$etc.

Se me ocurrió que esto es bastante similar a la noción de que un número es la suma de sus dígitos, como el número 123 expresado de la siguiente manera:

Podría ser realmente útil poder expresar, operar y razonar sobre un número con cada "dígito" representando un término diferente de una serie, más allá de la serie canónica en la que actualmente expresamos todos los números:

$$\textrm{number}=\textrm{digit}_1*\textrm{base}^{n-1}\ +\ \textrm{digit}_2*\textrm{base}^{n-2}\ +\ \textrm{digit}_3*\textrm{base}^{n-3}\ +\ ...\ +\ \textrm{digit}_n*\textrm{base}^0$$

TL; DR: ¿Existe un área de estudio dentro de las matemáticas que generalice la noción de "dígitos de un número", permitiendo que sean definidos por algo diferente a la serie directamente arriba, y con sus propias reglas y operaciones para manipular tales ¿un número? ¿Cuáles son sus reglas y operaciones?

Answer 1

Parece que podría estar interesado en Fracciones continuas. Cada número tiene una representación de fracción continua única. Asimismo, cada fracción continua representa la secuencia de las mejores aproximaciones racionales a cualquier número. Las fracciones continuas son de tamaño finito si y solo si son racionales. Las raíces cuadradas son fracciones continuas que se repiten.

Las fracciones continuas se pueden usar para determinar "cuán" racional es una aproximación dada. Por ejemplo, en varios algoritmos de aproximación de búsqueda de raíces, si toma el decimal numérico y lo escribe como una fracción continua, debería obtener un número grande (infinito) en uno de los dígitos. Esto identifica muy rápidamente que la solución numérica está convergiendo a una racional.

También hay muchos otros ejemplos de su uso.

Answer 2

Te podría interesar $p$-números ádicos donde por ejemplo$\ldots999 = -1$. (Generalmente$p$ aunque es un primo.)