¿Existe una función biyectiva? $f:[0,1] \to [0,1]$ tal que la gráfica de $f$ en $\mathbb{R}^2$ es un subconjunto denso de $[0,1] \times [0,1]$?
¿Existe una función biyectiva?$f:[0,1] \to [0,1]$tal que la gráfica de$f$ en $\mathbb{R}^2$es un subconjunto denso de$[0,1] \times [0,1]$? (Exactamente igual que el título).
Creo que la pregunta no se ve muy afectada si hacemos la misma pregunta pero para una función $f:(0,1) \to [0,1]$ o $f:[0,1) \to (0,1]$ etc, a diferencia de $f:[0,1] \to [0,1]$, que estaba en la pregunta original. Todo lo que realmente importa es que el dominio y el rango son subconjuntos conectados y acotados de$\mathbb{R}^2$.
Sospecho que la respuesta a la pregunta es sí, pero no sé cómo construir esa función.
Lo primero que hay que tener en cuenta es que, si existe tal función, no debe ser continua en ninguna parte, de lo contrario la gráfica de f no sería densa en todos los $[0,1] \times [0,1]$. Sin embargo, no está claro si la gráfica de nuestra función sería un subconjunto totalmente desconectado de$[0,1] \times [0,1]$.
¿Puede una función continua en ninguna parte tener una gráfica conectada?
En realidad, no he leído las respuestas a la pregunta anterior en detalle y, de todos modos, puede que no sea relevante responder la pregunta aquí (aunque podría serlo).
Mi intento:
Dejar $f_{ Conway_{(0,1)} }:(0,1) \to \mathbb{R} $ser la función base-13 de Conway , pero con dominio restringido a$(0,1)$. Ahora define$f_{Conway_{(0,1)}bounded}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(f_{ Conway_{(0,1)} }(x)) + \frac{1}{2}$ con dominio $(0,1)$ y rango $(0,1)$. Entonces la función está bien definida y la gráfica de$f_{Conway_{(0,1)}bounded}:(0,1) \to (0,1)$ es un subconjunto denso de $[0,1] \times [0,1]$. Ahora podemos modificar fácilmente nuestra función$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$ para que tenga dominio $[0,1]$ y rango $[0,1]$, y asumiré que el lector puede hacer esto y dejar los detalles por brevedad. Pero el punto es que estos dos puntos faltantes en el dominio,$0$ y $1$, no son un problema.
El problema es que nuestra función no es inyectiva.
Tenga en cuenta que no podemos responder a la pregunta eliminando únicamente puntos del gráfico de $f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, porque entonces eliminaría muchos puntos del dominio, por lo que esta no sería una función con dominio $(0,1)$. Entonces, tal vez haciendo algo inteligente para$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, o quizás sea necesario idear una forma completamente diferente de construir una función para responder a la pregunta.
Respuestas
Por simplicidad trabajaré en $[0,1]\times [0,1].$ La palabra "contable" a continuación significará "infinito numerable".
Lema: existe una colección disjunta por pares $\{D_n:n\in \mathbb N\}$ de subconjuntos de $(0,1)$ tal que cada $D_n$ es contable y denso en $(0,1).$
Prueba: dejar $p_1,p_2,\dots$ser los números primos. Para cada$n,$ definir $D_n$ ser el conjunto de ratios $j/p_n^k,$ dónde $k\in \mathbb N,$ $1\le j < p_n^k,$ y $j,p_n$son relativamente de primera. Me detendré aquí, pero haga preguntas si lo desea.
Ahora defina una colección doblemente indexada de intervalos abiertos $$I_{mk}=(\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}),$$ dónde $m\in \mathbb N, 1\le k\le m.$ Podemos ordenar linealmente estos intervalos como $I_{11}, I_{21},I_{22},I_{31}, I_{32},I_{33},\dots$ En este orden, simplemente denotemos los intervalos como $J_1,J_2,\dots.$
Para cada $n,$ el conjunto $D_n\cap J_n$ es un subconjunto denso contable de $J_n.$ Tenga en cuenta que la colección $\{D_n\cap J_n)\}$ es disjunto por pares.
Ahora para $n=1,\dots,$ definir $f:[0,1]\to [0,1]$ definiendo $f:J_n\cap D_n \to D_n$para ser cualquier biyección que te guste. Para obtener la biyección completa, tenga en cuenta que$[0,1]\setminus (\cup J_n\cap D_n)$ es $[0,1]$menos un conjunto contable. Asi es$[0,1]\setminus (\cup D_n).$ Por tanto, estos conjuntos tienen la cardinalidad de $[0,1],$de ahí que haya una biyección entre ellos. Dejar$f$sea esta biyección entre estos conjuntos. Ahora$f$ es una biyección completa de $[0,1]$ a $[0,1].$
Para mostrar densidad, deje $(a,b)\times (c,d)\subset (0,1)\times (0,1).$ Entonces, para algunos grandes $n$ (ahora arreglado), $J_n\cap D_n\subset (a,b).$ Y desde $f(J_n\cap D_n)=D_n,$ un subconjunto denso de $(0,1),$ existe $x\in J_n\cap D_n$ tal que $f(x)\in (c,d).$ Así $(x,f(x))\in (a,b)\times (c,d).$ Esto muestra la gráfica de $f$ es denso en $[0,1]\times [0,1].$
Sí, lo que puedes hacer es construir una función inyectiva $f:\mathbb Q \cap [0,1] \rightarrow \mathbb [0,1]$ cuya gráfica es densa en $[0,1] \times [0,1]$ y luego extender el dominio de $f$ a $\mathbb [0,1]$ de una manera que hace $f$ una biyección (esto es factible ya que hay $|\mathbb R | $ puntos en $[0,1]$ no ya en la imagen de $f$).
Por ejemplo, On $\mathbb Q \cap [0,1]$ podrías dejar $$f \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\pi a^2}{b} \mod 1$$
Sea S (x, n) = (2x + 1) / (2 ^ (2n + 1)).
Deje que R (x, n) sea floor (x / (2 ^ n)) + (2 ^ n) (x mod 2 ^ n) (informalmente, intercambie las dos mitades de la expansión binaria de x).
Sea f (b) = S (R (x, n), n) si hay algo de x, n (que, trivialmente, debe ser único) tal que S (x, n) = b, y b en caso contrario.
Considere cualquier "celda de cuadrícula binaria", [a * 2 ^ -n, (a + 1) * 2 ^ -n] x [b * 2 ^ -n, (b + 1) * 2 ^ -n]. (S (a * 2 ^ n + b, n), f (S (a * 2 ^ n + b, n)) = S (b * 2 ^ n + a, n)) está en esta celda de la cuadrícula.