Existencia de una función analítica en disco

Question

Dejar $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}\subset\mathbb C$. ¿Existe una función analítica no constante$g:D\to\mathbb C$ satisfactorio $$g\bigg(\frac1n\bigg)=g^2\bigg(-\frac{1}n\bigg), \,\,\,\,\,\text{for every integer $norte$ greater than 1?} $$

Esto es lo que he hecho:

Supongo que la respuesta es no, así que supongamos, en aras de la contradicción, que tal $g$existe. Considere la secuencia$(1/2,1/3,1/4,\dots)$ ¿Quiénes son los términos? $D$. Esta secuencia es convergente a$0$. Definir una función$h(z)=g(z)-g^2(-z)$, que es analítico. Vemos eso$$ h(1/2)=h(1/3)=h(1/4)=\dots=0, $$ Del teorema de la identidad, $h$ es cero en todas partes $D$. Entonces concluyo que$g(z)=g^2(-z)$En todas partes. ¿Qué debo hacer desde aquí? Gracias.

Answer 1

Claramente, constante $g\equiv 0$ o $g\equiv 1$ ambos satisfacen esta relación.

Asumir $g$ no es constante.

Si $g(z)=g^2(-z)$, luego $g(0)=g^2(0)$, y por lo tanto $g(0)=0$ o $1$.

A. Si $g(0)=0$, luego $g(z)=z^kf(z)$, para algún entero positivo $k$ y $f$ analítica en el disco unitario, con $f(0)=a\ne 0$. En tal caso tenemos$$ n^{-k}f(1/n)=g(1/n)=g^2(-1/n)=n^{-2k}f^2(-1/n) $$ y por lo tanto $$ f(1/n)=n^{-k}f^2(-1/n) $$ Imposible, ya que $f(1/n)\to a\ne 0$, mientras $n^{-k}f^2(-1/n)\to 0$, como $n\to\infty$.

B. Si $g(0)=1$, luego $g(z)=1+z^kf(z)$, dónde $f$ analítica en el disco unitario y $f(0)=a\ne 0$, en ese caso $$ 1+n^{-k}f(1/n)=g(1/n)=g^2(-1/z) =\big(1+(-n)^{-k}f(-1/n)\big)^2=\\=1+2(-n)^{-k}f(-1/n)+n^{-2k}f^2(-1/n) $$ y por lo tanto $$ f(1/n)=2(-1)^kf(-1/n)+n^{-k}f^2(-1/n) $$ tal como $n\to\infty$, tiende a $$ a=2(-1)^ka. $$ Contradicción.

Por tanto, solo una constante $g\equiv 0$ o $g\equiv 1$ podría satisfacer $g(1/n)=g^2(-1/n)$, para todos $n>1$.

Answer 2

Iterando $g(z)=g^{2}(-z)$ obtenemos $g(z)=g^{2^{n}}((-1)^{n} z)$. Si$|g(z)| >1$ obtenemos $|g(z)|=|g^{2^{n}}((-1)^{n} z)| \to \infty$ como $n \to \infty$a través de valores pares, una contradicción. Por lo tanto$|g(z)| \leq 1$ para todos $z$ Similar, $|g(z)| <1$ implicaría $g(z)=0$. Si$|g(z)|=1$ para todos $z$ luego $g$es una constante de MMP. Por tanto, no hay una solución no constante.