Expansión de Laurent de raíz cuadrada

Aug 17 2020

Tengo el siguiente problema de dos partes:

(a) Demuestre que $(z^2 - 1)^{-1}$ tiene una raíz cuadrada analítica en $\mathbb{C} - [-1,1]$

(b) Encuentre la expansión de Laurent de una raíz cuadrada analítica del inciso (a) en un dominio $\{a: |z| > 1 \}$, centrado en $z = 0$.

Para la parte (a), observo que la transformación de mobius $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ mapea el $\mathbb{C} - [-1,1]$ sobre $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. Ya que$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ está simplemente conectado y $F$ es distinto de cero en $\mathbb{C} - [-1,1]$, podemos definir una rama analítica de un solo valor $\sqrt{F(z)}$ en $\mathbb{C} - [-1,1]$. Luego, mediante un cálculo rápido

$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$

es una raíz cuadrada analítica de $(z^2 - 1)^{-1}$ en $\mathbb{C} - [-1,1]$.

However, I do not know how to go about part (b). Any help would be appreciated.

Respuestas

Matematleta Aug 17 2020 at 09:24

By part $(a)$ because $|z|>1$, if $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ we can use the principal branch of the logarithm, and choose $\sqrt {w^2}=w.$ Then, with $Z=1/z^2$ and noting that the binomial theorem is valid for $|z|>1,$ we compute

$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$

$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$

If $\theta$ lies on the negative real axis, then choose the branch cut accordingly and repeat the above calculation for $0<\theta<2\pi$.

I also think we can get $(a)$ by elementary means. We have by definition,

$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. This function has branch points at $1$ and $-1$ but not $\infty$ so we may implement the diagram

setting $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ and $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ and $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$

and prove analyticity by direct calculation.It comes down to considering cases.