Expecación e independencia

Question

Supongamos que tenemos tres variables aleatorias independientes X, Y y Z donde $X$ y $Y$ están distribuidos de forma idéntica y $Z$tiene una distribución simétrica alrededor de cero. Intuitivamente, uno podría creer que
$$ \Pr(X\le Z |Y\le Z) = \Pr(X\le Z) $$debido a la independencia. Sin embargo, no sé por dónde empezar para demostrarlo. Si condicionamos$Z$, luego terminamos con una integral que no necesariamente se simplifica más: $$ \int_z\Pr(X\le z ,Y\le z) dP(z) = \int_z\Pr(X\le z)\Pr(Y\le z) dP(z) $$¿Alguna pista? ¿Es cierto en absoluto?

Answer 1

Esto no es cierto en general, considere el caso donde $Y$es una constante. En ese caso, condicionando el caso de que sea menor que$Z$ te da información sobre el valor de $Z$.