Expresando “Todo estudiante ha aprobado al menos una clase” en FOL

Aug 19 2020

Mi pregunta:

Exprese esta frase en lenguaje de primer orden: "Todo estudiante ha aprobado al menos una clase".

Esta es la respuesta de mi profesor:

Definimos$S(x)$como "objeto$x$es un estudiante" ,$C(x)$como "objeto$x$es una clase" y$P(x,y)$como una lógica predicada - símbolo que se traduce como "estudiante$x$ha pasado de clase$y$". Entonces tenemos:

$\forall x (S(x) \rightarrow \exists y [C(y) \land P(x,y)])$.

Mi pregunta es ¿qué pasa con: "$\forall x S(x) \exists y ( C(y) \land P(x,y))$". ¿Por qué el segundo está mal?

Respuestas

1 lemontree Aug 19 2020 at 17:38

Tal vez hayas leído en alguna parte algo como

$\forall x \in \mathbb{N} P(x)$

e intente aplicar el mismo patrón a la oración en cuestión con$x \in \mathbb{N}$correspondiente a$S(x)$y$P(x)$a$\exists y ...$.

Pero lo anterior no es estrictamente hablando una fórmula de primer orden, sino solo una abreviatura de

$\forall x (x \in \mathbb{N} \to P(x))$

y normalmente solo se usa con declaraciones de membresía establecidas$x \in Y$, no predicados como$S(x)$.

Si está afirmando dos fórmulas$S(x)$,$\exists y ...$luego, según la sintaxis de la lógica de predicados, debe haber un conector entre ellos para que todo se convierta en otra fórmula, y eso falta en su propuesta.


Además, como se menciona en los comentarios,

$\forall x S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y))$

no es la solución correcta. Tu maestro probablemente escribió

$\forall x (S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y)))$

-- la$\forall x$debe abarcar la implicación, no sólo el$S(x)$.