¿Falsa dualidad del esquema de grupo diagonalizable / constante?

Question

La siguiente es una introducción al esquema de grupo constante y al esquema de grupo diagonalizable.

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Dejar $M$ ser un grupo abstracto arbitrario y $S$ser un esquema. Dejar$M_S=\coprod_{i\in M}S_i$ dónde $S_i=S$, que se puede construir pegando datos de un esquema, ver etiqueta 01JA . Entonces$M_S$ se llama el esquema de grupo constante sobre $S$ asociado a $M$. Y para cualquier$S$-esquema $T$, $M_S(T)=\{\text{locally constant functions }f:|T|\to M\}$, dónde $|T|$ tiene topología Zariski y $M$ tiene topología discreta, y la función localmente constante se define como $\forall t\in T,\exists U\ni t\text{ open}$ S t $f(U)={f(t)}$. ver etiqueta 03YW

El esquema dual de un grupo $G$ encima $S$ es un esquema que representa el functor $T/S\mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(G_T,\mathbb{G}_m)$. Para un esquema de grupo constante$M_S$, su dual se denota como $D(M)$ o $D_S(M)$y son precisamente los esquemas grupales diagonalizables. En particular, existe y$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}D_S(M)\cong \Spec \mathbb{Z}[M]\times_{\Spec \mathbb{Z}}S$ dónde $\mathbb{Z}[M]$ es el anillo del grupo $\bigoplus_{i\in M}\mathbb{Z}_i$con una estructura de anillo obvia. Tenga en cuenta que$D_S(M)$ es siempre conmutativa sin importar si $M$ es conmutativo.

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Se sabe en algunas referencias que si $M$ es conmutativo entonces $D_SD_S(M)=M_S$ es decir $M_S$es reflexivo. (por ejemplo , SGA3, Exposición VIII, Página 3, Teorema 1.2 o [Groupe Algeacutebriques de Demazure y Gabriel, Capítulo II, §2,2.11 Dualite des groupes diagonalisables]). Pero ninguna de las pruebas parece convincente. Y parece que encuentro un contraejemplo en cierto sentido.

Desde mi entendimiento del correspondiente entre $\DeclareMathOperator{\itSpec}{\mathit{Spec}}D_SD_S(M)(T)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(\itSpec_{\mathcal{O}_T}\mathcal{O}_T[M],\mathbb{G}_m)$ y $M_S(T)$. Un elemento en$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(\itSpec_{\mathcal{O}_T}\mathcal{O}_T[M],\mathbb{G}_m)$ corresponde a un mapa de $\mathcal{O}_T$-álgebras $f:\mathcal{O}_T[t,t^{-1}]\to \mathcal{O}_T[M]=\bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T$ S t $\epsilon f(t)=1$ y $\Delta(f(t))=f(t)\otimes f(t)$.

Si escribimos $f(t)=\sum_{i\in M}a_i\cdot e_i\in \bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T(T)$ entonces tenemos $a_i \cdot a_j=\delta_{ij}a_i$ y $1=\sum_i a_i$ (así que cada $a_i$ es un elemento idempotente en $\mathcal{O}_T(T)$). Claramente$\forall s\in T,1|_s=\sum_i a_i|_s$ así que al menos uno de $a_i$ es compatible con $s$. Y$T_{s_i} \cap T_{s_j}=T_{s_is_j}=T_0=\emptyset$. Entonces$(T_{s_i})_{i\in M}$ forma una cubierta abierta disjunta de $T$ que se puede identificar con una función localmente constante de $T$ a $M$. Pero el único problema es$\sum_{i\in M}a_i\cdot e_i\in \bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T(T)$tiene solo términos finitos, lo que significa que el mapa inducido localmente constante tiene solo una imagen finita. Y creo que existen funciones locales constantes$T\to M$ con imagen infinita, que no puede ser inducida por $\mathcal{O}_T[t,t^{-1}]\to \mathcal{O}_T[M]=\bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T$.

Entonces, ¿qué parte de mis argumentos está mal? ¿O necesitamos algunas condiciones adicionales en$M$ (como finito o generado finitamente) o el esquema base $S$(como localmente Noetherian, conectado o conectado localmente)? ¿O la dualidad solo se mantiene en alguna topología como la topología fppf / etale?

Answer 1

Voy a dar una identificación de $DD(M)(S)$ y $M_S(S)$. Usando la identificación$D(M)=\mathrm{Spec}\mathcal{O_S}[M]$ y $\mathbb{G}_m=D(\mathbb{Z})$, tenemos $$DD(M)(S)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_S-\mathrm{Hopf-alg}}(\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}e_i\mathcal{O}_S,\bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S)$$ es decir, cada elemento está determinado por un mapa $\phi$ de $\mathcal{O}_S$-modules st contiene el siguiente diagrama conmutativo $$\require{AMScd}\begin{CD} \bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}e_i\mathcal{O}_S @>\phi>> \bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S\\ @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V\\ \bigoplus_{j,k\in \mathbb{Z}}e_{j}\mathcal{O}_S\otimes e_k\mathcal{O}_S @>\phi\otimes \phi>> \bigoplus_{a,b\in M}e_a\mathcal{O}_S\otimes e_b \mathcal{O}_S \end{CD}$$ Es equivalente a los datos $\mu :\mathcal O_S \cong e_1\mathcal{O}_S\stackrel{\phi}{\to}\bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S$ (escrito $\mu=\sum_i e_i \mu_i$ dónde $\mu_i:\mathcal{O}_S\stackrel{\mu}{\to}\bigoplus_{j\in M}e_j\mathcal{O}_S\to e_i\mathcal{O}_S\cong \mathcal{O}_S$) st el diagrama conmuta $$\require{AMScd}\begin{CD} \mathcal{O}_S @>\mu>> \bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S\\ @VV{\mathrm{id}}V @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V\\ \mathcal{O}_S @>{\mu\otimes\mu}>> \bigoplus_{a,b\in M}e_a\mathcal{O}_S\otimes e_b \mathcal{O}_S \end{CD}$$ y $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$.

Es equivalente a la condición de que $(\mathcal{O}_S\otimes \mathcal{O}_S\stackrel{\Delta}{\to}\mathcal{O}_S)\circ(\mu_a \otimes \mu_b)=\delta_{ab}\mu_a$ y $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$.

Sobre cualquier afín abierto, tenemos $(\mathcal{O}_S\otimes \mathcal{O}_S\stackrel{\Delta}{\to}\mathcal{O}_S)\circ(\mu_a \otimes \mu_b)=\mu_a \circ \mu_b$. Entonces es equivalente a la condición de que$\mu_a \circ \mu_b =\delta_{ab}\mu_a$ y $\sum_i \mu_i =\mathrm{id}$.

Reclamación: es equivalente a los datos {$(U_i)_{i\in M}$ es una tapa abierta disjunta de $S$}.

Prueba de la reclamación. Dada una tapa abierta disjunta$(U_i)_{i\in M}$ de $S$, luego cada $U_i^c=\bigcup_{j\neq i}U_j$ está abierto, existe un elemento único $c_i\in \mathcal{O}_S(S)$ S t $c_i|_{U_i}=1$ y $c_i|_{U_i^c}=0$usando axiomas de gavilla. Con cada$c_i$ podemos asociarnos $\mu_i:\mathcal{O}_S\to \mathcal{O}_S,u\mapsto c_i u$. No es dificil ver eso$\mu_a \circ \mu_b=\delta_{ab}\mu_a$. Como$\sum_i c_i=1$, tenemos $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$.

Inversamente para cada $s\in S$, $\mu_{i,s}:\mathcal{O}_{S,s}\to\mathcal{O}_{S,s}$ se completa determinado por $c_{i,s}=\mu_{i,s}(1)$. Lo sabemos$c_{i,s}c_{j,s}=\delta_{ij}c_{i,s}$ y $\sum_{i}c_{i,s}=1$. Entonces cada$c_{i,s}$ es idempotente$x^2=x$), pero los únicos elementos idempotentes en un anillo local es $0$ y $1$. Entonces exactamente uno de$(c_{i,s})_{i\in M}$ es 1.

Para cualquier $i$, denotar $U_{i}$ como el subconjunto que consta de $s$ S t $\mu_{i,s}=\mathrm{id}$. Entonces$(U_{i})_{i\in M}$es inconexo. Si$s\in U_i$, entonces $\mu_{i,s}=\mathrm{id}$, claramente se extiende a un vecindario abierto de $s$, ver etiqueta 01CP . Así$(U_{i})_{i\in M}$ es tapa abierta disjunta de $S$. El resultado sigue.$\square$

Claramente los datos {$(U_i)_{i\in M}$ es una tapa abierta disjunta de $S$} es equivalente a los datos {función localmente constante $S\to M$}. El resultado sigue.