Finitud de $\pi_n(Top/O)$

Question

por $n>4$ uno puede identificar $\pi_n(Top/O)$ a través de la teoría del suavizado como clase de concordancia de estructuras suaves en $S^n$donde dos estructuras son concordantes si unen una estructura lisa al producto con un intervalo. Lo he visto afirmar que estos grupos de homotopía son finitos, por ejemplo cuando se afirma$BO \rightarrow BTop$ es una equivalencia racional.

A uno le gustaría usar el trabajo de Kervaire y Milnor que muestra la finitud de las esferas de homotopía orientadas, pero no veo cómo pasar de una declaración sobre el tipo de difeomorfismo a una declaración sobre la clase de concordancia. ¿Es cierto que una esfera concordante es equivalente a difeomórfica? Esa concordancia implica difeomorfismo es cierta según el teorema de h-cobordismo, pero creo que para algunas variedades al menos la otra forma no es válida.

Answer 1

Aquí esencialmente estoy repitiendo lo que Siebenmann escribió en el Ensayo V del volumen de Kirby-Siebenmann mientras obtengo algunas definiciones de las primeras secciones:

Dejar $n \geq 5$. Por el trabajo de Kirby y Siebenmann sobre la conectividad de$Top(n)/O(n) \rightarrow Top/O$, $\pi_n(Top/O)=\pi_n(Top(n)/O(n))$. Este último es con lo que elegiremos trabajar. En la sección 5.3 el espacio$\Omega^n Top(n)/O(n)$ se identificó con el espacio de alisados ​​de $S^n$en relación con un disco con estructura lisa estándar. Por lo tanto,$\pi_n(Top(n)/O(n))$ son las clases de concordancia de tales estructuras suaves.

Podemos considerar la inclusión de tales suavizados en los suavizados homotópicos de $S^n$relativo a un disco (¿quizás hasta h-cobordismo?). La sobrejetividad se deriva de la conjetura de Poincaré y la inyectividad de lo que Siebenmann llama "isotopía de Alexander", no estoy seguro de qué es esto.

Entonces este conjunto de suavizados homotópicos de $S^n$ relativo a un disco tiene un mapa del grupo de esferas de homotopía orientadas dado mediante el uso de la equivalencia de homotopía para transportar la orientación de $S^n$a la esfera de homotopía y luego olvidando la equivalencia de homotopía. Este mapa es sobreyectivo ya que cualquier esfera de homotopía contiene un disco estándar. Lo principal para mostrar la inyectividad es que hasta la orientación hay una única clase de isotopía de discos incrustados en nuestra esfera de homotopía.

Esta cadena de biyecciones muestra que $\pi_n(Top/O)$ para $n\geq 5$ es $\Theta_n$, el grupo de esferas de homotopía orientadas. Creo que cualquier sutileza en esta prueba surgiría al mostrar que incluir suavizados en suavizados homotópicos es inyectivo, por lo que profundizaré en la "isotopía de Alexander".