Forma general de centralizador

Question

Si decimos $B = J_{a_1}(\lambda_1) \oplus J_{a_2}(\lambda_2) ... \oplus J_{a_n}(\lambda_n)$ Estoy tratando de encontrar la forma general del centralizador de $B$. Primero cuando nuestras lambdas son distintas pero luego también cuando no lo son y cuál es la dimensión en cada uno de los casos.

Entonces sé que B debería ser un $\sum a_i \times \sum a_i $ matriz con entradas $\lambda_i$ en las diagonales, pero luego no estoy seguro de cómo encontrar el centralizador para cada caso.

No estoy muy seguro de cómo empezar y si alguien pudiera señalarme una buena dirección, se lo agradecería.

Answer 1

Usaré el lenguaje de los módulos.

Una elección de operador lineal $A$ en un espacio vectorial $V$ es equivalente a hacer $V$ un $\mathbb{C}[T]$-módulo, donde $T$ actúa por el operador $A$. Ya que$\mathbb{C}[T]$ es un PID, se aplica el teorema fundamental de módulos generados finitamente sobre PID, por lo que podemos decir $V$ es isomorfo como $\mathbb{C}[T]$-módulo a una suma directa de submódulos cíclicos, y los módulos cíclicos (según el teorema del resto chino) son WLOG de la forma $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d$. Si escribimos la matriz para multiplicar por$T$ en tal módulo con respecto a la base de potencia $\{1,T,\cdots,T^{d-1}\}$ obtenemos el $d\times d$ Bloque de Jordan asociado al autovalor generalizado $\lambda$. El componente que contiene todos los sumandos directos (o equivalentemente todos los submódulos cíclicos) con un valor dado de$\lambda$ forma el espacio propio generalizado de $V$ asociado a $\lambda$.

El centralizador de $A$ corresponde a encontrar los endomorfismos de $V$ como un $\mathbb{C}[T]$-módulo.

Tenga en cuenta que $\hom$ es distributivo, cualquier elemento de $\hom(\bigoplus V_i,\bigoplus V_j)$ puede escribirse como una matriz cuya $ij$-entrada es un homomorfismo $V_i\to V_j$. Así, para encontrar los endomorfismos modulares de$V$, simplemente necesitamos determinar todos los posibles homomorfismos de módulo $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d\to \mathbb{C}[T]/(T-\mu)^k$. Tal mapa es$T$-equariante y su rango es el submódulo cíclico generado por la imagen de $1$. La única condición es que$1$ debe ser enviado a un elemento aniquilado por $(T-\lambda)^d$. Ya sea$k\le d$ o esto significa $1$ se envía a algo en el submódulo cíclico $(T-\lambda)^{k-d}$ que tiene dimensión $d$ dentro $(T-\lambda)^k$. Por tanto, el espacio vectorial de los homomorfismos de módulo es$\min\{d,k\}$ Si $\lambda=\mu$, más $0$.

Entonces, si los bloques de Jordan asociados a $\lambda$ tener tamaños $d_1\ge d_2\ge\cdots\ge d_n$ entonces la dimensión del álgebra / centralizador de endomorfismo es $\sum_{i,j}\min\{d_i,d_j\}$ que es la suma de términos en la matriz

$$ \begin{array}{cccc} d_1 & d_2 & \cdots & d_n \\ d_2 & d_2 & \cdots & d_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_n & d_n & \cdots & d_n \end{array} $$

que es igual $\sum_{j=1}^n (2j-1)d_j$.

En general, tomamos esta suma para cada valor propio generalizado $\lambda$ y combinar.

Para describir el álgebra centralizadora / endomorfista como un álgebra, primero descompóngala como una suma directa de subálgebras asociadas a cada $\lambda$, luego escriba elementos de estas subálgebras como matrices cuyas entradas sean elementos de módulos de cociente $(T-\lambda)^{k-d}/(T-\lambda)^k$ (interpretando $k-d$ como $0$ Si $k\le d$) para las diversas opciones de $d$ y $k$.

Aquí hay un ejemplo. Considere una matriz con descomposición de Jordan

$$ \color{Red}{J_1(0)\oplus J_1(0)\oplus J_2(0)}\oplus \color{Green}{J_3(i)\oplus J_4(i)} \oplus \color{Blue}{J_5(\omega)} $$

• Asociado a $\color{Red}{\lambda=0}$ es $2\ge1\ge1$ con suma $\sum_{j=1}^3 (2j-1)d_j=(1)2+(3)1+(5)1=\color{Red}{10}$.
• Asociado a $\color{Green}{\lambda=i}$ es $4\ge3$ con suma $\sum_{j=1}^2(2j-1)d_j= (1)4+(3)3=\color{Green}{13}$.
• Asociado a $\color{Blue}{\lambda=\omega}$ es $5$ con suma $\sum_{j=1}^1 (2j-1)d_j=(1)5=\color{Blue}{5}$.

Así, el centralizador completo tiene dimensión $\color{Red}{10}+\color{Green}{13}+\color{Blue}{5}=28$.

Answer 2

El resultado en términos de matrices es bien conocido entre los investigadores. También lo he visto documentado en un libro de texto de pregrado, pero no puedo recordar el título del libro.

Suponer $B$ es la suma directa de $r$ Formas de Jordan $J_1,J_2,\ldots, J_r$, cada uno con un valor propio diferente, y supongamos que cada forma de Jordan $J_k$ tiene $b_k$ Jordan bloquea el valor propio $\lambda_k$ de multiplicidades $m_{k1}\ge m_{k2}\ge\cdots\ge m_{kb_k}$respectivamente. Es decir, suponga$$ B=\bigoplus_{k=1}^rJ_k=\bigoplus_{k=1}^r\underbrace{\left(J(\lambda_k;m_{k1})\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k;m_{kb_k})\right)}_{J_k}\tag{1} $$ dónde $J(\lambda;m)$ denota un bloque de Jordan triangular superior con un valor propio $\lambda$ de multiplicidad $m$.

Por ejemplo, en el $9\times9$ Forma de Jordan $B$ a continuación, tenemos $J_1=J(1;3)\oplus J(1;2)$ y $J_2=J(0;2)\oplus J(0;1)\oplus J(0;1)$. $$ B=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \hline &&&1&1\\ &&&0&1\\ \hline &&&&&0&1\\ &&&&&0&0\\ \hline &&&&&&&0\\ \hline &&&&&&&&0 \end{array}\right]. $$ La ecuacion $BA=AB$ por lo tanto, reduce en bloque a ecuaciones de la forma $$ J(\lambda;m)X=XJ(\mu;n) $$ por un $m\times n$ matriz $X$. Asumir que$m\ge n$ (el caso $n\le m$puede tratarse de manera similar). Restando ambos lados por$\mu I$, obtenemos $J(\lambda-\mu;m)X=XJ(0;n)$. Cuando$\lambda\ne\mu$, tenemos $J(\lambda-\mu;m)^nX=XJ(0;n)^n=0$ y por lo tanto $X$debe ser cero. Cuando$\lambda=\mu$, tenemos $J(0;m)X=XJ(0;n)$. En particular, obtenemos dos igualdades:\begin{align} x_{i+1,j+1}=e_i^TJ(0;m)Xe_{j+1}&=e_i^TXJ(0;n)e_{j+1}=x_{ij},\\ J(0;m)Xe_1&=XJ(0;n)e_1=0.\\ \end{align} El primero significa que $X$ es Toeplitz, mientras que el segundo significa que el desplazamiento hacia arriba de la primera columna de $X$es cero. De ello se desprende que todas las entradas por debajo de la diagonal principal de$X$ son cero, es decir $X$es una matriz de Toeplitz triangular superior. Por el contrario, se puede verificar que cada matriz de Toeplitz triangular superior$X$ satisface la ecuación $J(0;m)X=XJ(0;n)$.

Por tanto, las soluciones para $BA=AB$ tiene la forma general $\bigoplus_{k=1}^rM_k$, donde cada $M_k$ tiene el mismo tamaño que $J_k$, y, cuando se particiona de la misma manera que $J_k$ (de modo que los sub-bloques diagonales de $M_k$ tiene tamaños $m_{k1},\ldots,m_{kb_k}$ respectivamente), su $(i,j)$-th sub-block es una matriz de Toeplitz triangular superior en forma de $$ M_{kij}=\begin{cases} \pmatrix{T_{kij}\\ 0}&\text{when } m_{ki}>m_{kj},\\ T_{kij}&\text{when } m_{ki}=m_{kj},\\ \pmatrix{0&T_{kij}}&\text{when } m_{ki}<m_{kj},\\ \end{cases}\tag{2} $$ dónde $T_{kij}$ denota una matriz cuadrada de Toeplitz triangular superior de tamaño $\min(m_{ki},m_{kj})$.

Por ejemplo, los centralizadores de nuestro anterior $9\times9$ ejemplo tienen la siguiente forma general: $$ A=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} a&b&c&d&e\\ 0&a&b&0&d\\ 0&0&a&0&0\\ \hline 0&f&g&h&l\\ 0&0&f&0&h\\ \hline &&&&&p&q&s&t\\ &&&&&0&p&0&0\\ \hline &&&&&0&u&v&w\\ \hline &&&&&0&x&y&z\\ \end{array}\right]. $$ Con $(1)$ y $(2)$, la dimensión del subespacio centralizador viene dada por $$ \sum_{k=1}^r\sum_{i,j=1}^{b_k} \min (m_{ki}, m_{kj}) =\sum_{k=1}^r\sum_{i=1}^{b_k}(2i-1)m_{ki}, $$ que es igual a $(1\times3+3\times2)+(1\times2+3\times1+5\times1)=19$ en el ejemplo anterior.