Función de onda de partícula libre

Question

Según wiki , la función de onda de una partícula libre es:

$$ \psi(\mathbf{r}, t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} $$

que con las restricciones necesarias y unidimensionales se convirtió en:

$$ \psi(\mathbf{r}, t) = Ae^{i k \left( x-\frac{h}{2m\lambda} t \right) } $$

1. esta función de onda debe cumplir con la normalización, por lo tanto $$|A|^2 x \rvert_{-\infty}^\infty = 1 $$ algo imposible para cualquiera $A $?

2. ¿A qué tipo de partículas es aplicable esta función de onda?

3. En caso de que sea aplicable a fotones, podríamos comparar con las ondas electromagnéticas:

$$ Ae^{i k \left( x-vt \right) } $$

(con $v=c$ en espacio vacío)

podemos ver eso en newtoniano $v$ es un término relacionado con el medio, siendo una constante universal en el caso del espacio vacío, mientras que en cuántico es $\frac{h}{2m\lambda}$, algo que depende solo de las características de las partículas $m$ y $\lambda$. ¿Cómo hacer coincidir ambos hechos?

Answer 1

Acerca de su primera pregunta, la función de onda de una partícula libre no pertenece al espacio vectorial $L_2(\mathbb{R})$ de las funciones que tienen el módulo cuadrado integrable en $\mathbb{R}$. Formalmente vive en un espacio vectorial generalizado, cuyos elementos se conocen como "distribuciones" en la literatura matemática. No recuerdo los detalles matemáticos. Sin embargo, esto refleja físicamente el principio de Heisemberg. En esta representación, conoce exactamente el momento de la partícula, que es$\hbar k$ (simplemente aplique el operador de impulso $-i\hbar \partial/\partial x$a la función y compruebe lo que obtiene); por lo que el principio de Heisemberg establece que existe una incertidumbre total sobre la posición y, de hecho, la distribución de probabilidad en el espacio es una constante$|A|^2$. La no integrabilidad es una patología en el formalismo debido a que no se tiene ninguna incertidumbre en el valor del momento.

Pasando a la segunda pregunta: esto se puede aplicar a cualquier partícula libre si toma la forma general $Ae^{i(kx-\omega_k t)}$, dónde $\omega_k$es la relación de dispersión, que depende del problema específico. Por ejemplo, esta es una solución de la ecuación de Schrodinger sin potencial externo si$\omega_k = \hbar k^2/2m$. El problema con los fotones es que, siendo completamente relativista ($m=0$) objetos que no se describen correctamente mediante la ecuación de Schrodinger. De hecho, la relación de dispersión correcta para fonones NO es$\omega_k=\hbar k^2/2m$ claramente, porque esto no tendría sentido dado $m=0$. En cambio es$\omega_k = c k $, como ya sabemos de las ondas electromagnéticas; pero esto sería consistente con una generalización completamente relativista de la ecuación de Schródinger. (Y esa fue la pregunta 3 :) ¡Espero que esto haya ayudado!)