Función de probabilidad para la diferencia entre dos rvs exponenciales iid
Mi respuesta está completamente equivocada. ¿Puede decirme dónde salió mal mi lógica?
Donald Trump y Tori Black se reunirán a una hora específica y ambos llegarán tarde $ \sim Exponential(\lambda), i.i.d. $. ¿Cuál es el CDF de la diferencia horaria de llegada?
Dejar $ X, Y$ sea la hora tardía y la diferencia sea $Z = X - Y$. Los casos son$z \geq 0$ y $z < 0 $.
Primero, por $ z \geq 0$,
$ F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(X-Y \leq z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y)$
Z $\geq 0$, entonces $X \geq 0 $ para todos $Y$.
$$\begin{align} F_Z(z) & = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-\lambda y}(-e^{-\lambda x}|_{z+y}^\infty) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-2\lambda y}e^{-\lambda z}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}\end{align}$$
Ahora para $z < 0$, donde mi cálculo salió muy mal .
Similar, $F_Z(z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y) $
$Z < 0$, entonces para $X \geq 0$, $Y$ debiera ser $Y \geq -Z$, Así que hago:
$$\begin{align}F_Z(z) & = 1 - \int_{-z}^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1- \int_{-z}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot e^{-\lambda (z+y)}dy \\& = 1 - e^{- \lambda z}\int_{-z}^\infty \lambda e^{-2\lambda y}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\cdot \frac{1}{2}e ^{2\lambda z} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{\lambda z}.\end{align}$$
Por lo tanto, mis respuestas para ambos casos son las mismas, excepto que $z$ firmar.
Los CDF correctos se dan en el libro de texto como
$F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}$ para $z\geq 0$ y $\frac{1}{2}e^{\lambda z}$ para $z<0$.
Me olvidé de integrar $Y$ encima $\int_0^{-z}$ para $z<0$, que cuando se incluye da la respuesta del libro de texto.
Respuestas
Tus límites integrales no son correctos. Si dibuja la región de integración, estará en el primer cuadrante y a la derecha de la línea.$X-Y=z$. Será más fácil de integrar si el orden de integración es$dy dx$. De lo contrario, necesitaría calcular dos rangos diferentes:$0\leq y \leq -z$ y $-z<y<\infty$. En su integral, simplemente calcula el segundo intervalo.
$$\begin{align}P(X>z+Y)&=\int_0^\infty \int_0^{x-z}\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}dydx\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(x-z)})dx\\&=1-e^{\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x}dx\\&=1-e^{\lambda z}/2\end{align}$$
Esto produce $F_Z(z)=e^{\lambda z}/2$
No responderé a la pregunta del OP sobre dónde se encuentra su análisis del caso. $z<0$ salió mal, pero en su lugar señale una forma más fácil de llegar a la respuesta correcta una vez que el valor de $F_Z(z)$ se ha determinado que es $1-\frac 12 \exp(-\lambda z)$ cuando $z > 0$.
Ya que $X$ y $Y$son iid variables aleatorias, la densidad de$Z = X-Y$ debe ser la misma que la densidad de $-Z = Y-X$, es decir, la densidad debe ser una función par . Una consecuencia de esto es que$P(Z>\alpha) = P(Z<-\alpha)$ y así inmediatamente obtenemos \begin{align} P(Z > z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < -z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < z) &= \frac 12 \exp(\lambda z), &z < 0,\\ \end{align} y entonces, $$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(Z < z) = \frac 12 \exp(\lambda z), \,\,\,\ z < 0.$$
De hecho, este problema se puede resolver sin calcular ninguna integral si parte del conocimiento de que la distribución exponencial es la única distribución continua que no tiene memoria. Eso significa que si una variable aleatoria$X\sim\text{Expon}(\lambda)$ Después también $X-a|X>a\sim\text{Expon}(\lambda)$ para cualquier $a>0$. En otras palabras, si$X$es el tiempo hasta que llega Donald Trump y no ha llegado después de, digamos, 10 minutos, entonces el tiempo hasta que llega más allá de esos 10 minutos también se distribuye como$X$. Esto puede parecer contradictorio, pero es fácil de probar.
Ahora si $X,Y$ son iid $\text{Expon}(\lambda)$ y la hora de llegada de Donald y Tori respectivamente, entonces Donald será el primero en llegar con probabilidad 0.5: $\text{Prob}(Y>X)=0.5$. Más importante en ese caso, sin embargo, la propiedad sin memoria de$Y$ nos dice que $Y-X|Y>X \sim\text{Expon}(\lambda)$ cualquiera que sea el valor de $X$ y por lo tanto $-Z|Y>X$ es $\text{Expon}(\lambda)$. Asimismo, si Tori llega primero, con probabilidad$\text{Prob}[X>Y]=0.5$, luego $Z|X>Y$ es también $\text{Expon}(\lambda)$. Al juntar los dos casos se obtiene el resultado simétrico para$F_Z(z)$ que se obtuvo antes.
Pedí cdf pero si fuera pdf .
por $z\geq 0, 0\leq z\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_z^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_z^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda z} \end{align}$$
por $z<0, z< 0\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_0^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_0^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda z} \end{align}$$