Función subarmónica en regiones ilimitadas

Question

La mayorización armónica para una función subarmónica $h$ es conocido por las regiones delimitadas $\Omega \subset \mathbb{C}$: $$h \le 0 \text{ in }\partial \Omega \Longrightarrow h \le 0 \text{ in }\Omega.$$ Sé que esto está relacionado con el principio máximo.

Necesito una referencia para el mismo resultado para regiones ilimitadas del plano complejo. Creo que uno debería asumir además que la función está limitada a$\overline{\Omega}$. Vi esto en alguna parte pero no puedo encontrar una referencia.

Answer 1

Sí, esto se llama el principio de Phragmen-Lindelof: para cada región de la esfera de Riemann, si $h$ es subarmónico y acotado desde arriba, y $$\limsup_{z\to\zeta}h(z)\leq 0$$ para todos $\zeta\in\partial\Omega$, excepto un número finito de puntos, entonces $h\leq 0$ en $\Omega$. Si su dominio$\Omega$ es un dominio ilimitado en $C$, solo incluye $\infty$ a este conjunto excepcional finito.

Hay muchas mejoras en esto, por ejemplo, un conjunto excepcional finito puede ser reemplazado por un conjunto de capacidad cero. La delimitación desde arriba puede ser reemplazada por una condición más débil$h(z)<o(\log|z|),\; z\to\infty$. Esto puede reemplazarse por una condición de crecimiento más débil, si se sabe algo sobre la forma del dominio ilimitado cerca del infinito. Por ejemplo, si la porción de$\Omega$ cerca $\infty$ está contenido en un sector de apertura $<\pi/\alpha$, entonces, en lugar de la delimitación, se puede imponer la condición de crecimiento $h(z)<o(|z|^\alpha)$.

Refs. Ransford, Teoría del potencial en el plano,

Levin, conferencias sobre funciones completas,

Hayman, Kennedy, funciones subarmónicas.

De hecho, la prueba es muy sencilla. Suponer$h$ está limitado desde arriba y $h(z)\leq 0$ en $\partial\Omega$, dónde $\Omega$es un dominio ilimitado. Aquí$\partial$ es con respecto a $C$, entonces no incluye $\infty$. Supongamos por simplicidad que$\Omega$no se cruza con el disco de la unidad. Considerar$u(z)=h(z)-\epsilon\log|z|$, dónde $\epsilon>0$. Entonces$\limsup_{z\to\zeta}u(z)\leq 0$ para $\zeta\in \partial^*\Omega$, el límite con respecto a la esfera de Riemann, por lo que incluye $\infty$. Por el principio máximo habitual llegamos a la conclusión de que$u(z)\leq 0$ en $\Omega$. Pasando al límite de fijo$z$ como $\epsilon\to 0$, obtenemos $h(z)\leq 0$.

Para obtener el resultado en otras condiciones, utilice otras funciones auxiliares en lugar de $\log|z|$.