$G_2$ como el grupo de isometrías de un espacio proyectivo

Question

Parece que en la clasificación de álgebras de mentiras complejas simples, cada álgebra de mentiras corresponde al grupo de isometrías de un espacio proyectivo. SO (n + 1) es el grupo de isometrías en$RP^n$, SU (n + 1) son las isometrías de $CP^n$, y SP (n + 1) son las isometrías de $HP^n$.

John Baez explica en su curso sobre octoniones que los grupos de mentiras excepcionales son los grupos de isometrías para espacios proyectivos construidos a partir de octoniones, como se ve en el Cuadrado Mágico de Lie Algebras 1

$G_2$es el único grupo de mentiras excepcional que queda fuera de esta descripción, y generalmente se describe como el grupo de automorfismos de los octonianos, lo cual es agradable, pero siguiendo el patrón parece que también debería ser el grupo de isometrías de alguna variedad. ¿Se sabe cuál sería esta variedad?

Answer 1

Demasiado tiempo para un comentario, pero no una respuesta completa:

Hay una realización famosa como $G_2$ como el grupo de simetría de 'una bola rodando sobre otra bola con 3 veces su radio'.

Realmente no sé qué significa eso, pero cada vez que inventas una parametrización sensata de todas las configuraciones posibles de las dos bolas, no es difícil convencerte a ti mismo de que lo suyo tiene la estructura de un colector. Quizás esta variedad es lo que tiene$G_2$simetría. Por otro lado, esto es solo dos bolas tocándose. Si de alguna manera la noción de enrollar juega un papel más serio, es menos obvio si la historia puede reformularse como una variedad y cómo.

Pero un buen punto de partida sería buscar en Google '$G_2$ bola rodante 'o similar y ver qué aparece.

EDITAR: esta cita de Wikipedia (la página en $G_2$) lo clafifica bastante:

En 1893, Élie Cartan publicó una nota que describe un conjunto abierto en $\mathbb{C}^5$ equipado con una distribución bidimensional, es decir, un campo variable de subespacios bidimensionales del espacio tangente, para el cual el álgebra de Lie $\mathfrak{g}_{2}$aparece como las simetrías infinitesimales. [2] Ese mismo año, en la misma revista, Engel notó lo mismo. Más tarde se descubrió que la distribución bidimensional está estrechamente relacionada con una bola que rueda sobre otra bola. El espacio de configuraciones de la bola rodante es de 5 dimensiones, con una distribución bidimensional que describe los movimientos de la bola donde rueda sin resbalar ni torcerse.