Generalizando el Pfaffian: familias de matrices cuyos determinantes son potencias perfectas de polinomios en las entradas

Question

Dejar $n$ ser un entero positivo y dejar $M = (m_{ij})$ ser un sesgo $2n \times 2n$matriz. Es decir, tenemos$m_{ij} = -m_{ji}$ por $1 \leq i, j \leq 2n$. Entonces es bien sabido que

$$\det M = p(M)^2,$$

dónde $p$ es un polinomio en las entradas $m_{ij}$. El polinomio$p(M)$se llama el Pfaffian de$M$.

¿Existe una generalización de esto? Es decir, ¿existe una familia natural de$kn \times kn$ matrices cuyos determinantes son perfectos $k$-ésimas potencias de polinomios en las entradas?

Answer 1

Las álgebras de Clifford dan una buena clase de ejemplos de esto: Si $V$ es un espacio vectorial real dotado de una forma cuadrática $q:V\to\mathbb{R}$, el álgebra $Cl(q)$ es el álgebra generada por los elementos de $V$ sujeto a la regla de la multiplicación $x^2 = -q(x)$. Si$M$ es un $Cl(q)$-módulo, digamos $M\simeq\mathbb{R}^m$, entonces tenemos una inclusión $V\hookrightarrow\mathrm{End}(M)$ y el polinomio característico de $x\in V\subseteq\mathrm{End}(M)$ se ve fácilmente como $(t^2+q(x))^{m/2}$, entonces tenemos $$ \det(x) = q(x)^{m/2} $$ para todos $x\in V$.

Por ejemplo, si $V$ es $\mathbb{R}^8$ con su forma cuadrática euclidiana estándar $q$, luego $Cl(q)$ es isomorfo a $\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{16})$, para que podamos tomar $M=\mathbb{R}^{16}$ (y cada $Cl(q)$-módulo es $\mathbb{R}^{16k}$ por algún entero $k$). Así, en este caso, tenemos$\det(x) = p(x)^8$ dónde $p(x) = |x|^2$ para todos $x\in V$.

En general, cuando $V\simeq\mathbb{R}^n$ y $q_n:V\to\mathbb{R}$ es no degenerado, la dimensión de un mínimo no trivial $Cl(q_n)$-módulo crece (aproximadamente) exponencialmente con $n$, entonces el mínimo $m$ crece exponencialmente con $n$. Esto muestra que hay ejemplos no triviales 'irreductibles' con$\det(x) = p(x)^k$ por $k$ arbitrariamente grande y que no hay límite en la dimensión posible $n$ del subespacio $V\subset\mathrm{End}(M)$.

Observación : dado un subespacio lineal$V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^{m})$ tal que existe un polinomio $p:V\to\mathbb{R}$ y un entero $k = m/\deg(p)>1$ tal que $\det(x) = p(x)^k$, decimos que la pareja $(V,\mathbb{R}^m)$es irreductible si no hay un subespacio no trivial$M\subset\mathbb{R}^m$ tal que $x(M)\subset M$ para todos $x\in V$ y $\det(x_{|M}) = p(x)^j$ para todos $x\in V$, donde, necesariamente, $j = (\dim M)/\deg(p)$.

El interesante problema de los subespacios lineales $V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^m)$ en el que el $\det$-función es una potencia superior de un polinomio en $V$ es clasificar los irreductibles de máxima dimensión para un determinado $m$.