Generando triples pitagóricos primitivos

Question

Dada esta ecuación $a^2 + b^2 = c^2$ , para generar todas las triples pitagóricas primitivas, todo lo que tenemos que hacer es: escribir (a, b, c) como:

$a = 2mn $

$b = m^2-n^2$

$c= m^2+n^2$

con condiciones: $\gcd(m,n)=1$ y $(m+n)$%$2= 1 $

Pero, ¿y si agregamos un parámetro? $K$ a la ecuación tal que: $a^2 + b^2 = c^2 - K$ , con $K$ siendo un entero positivo, ¿cómo podemos generar $(a,b,c)$ en este caso satisfaciendo la ecuación anterior tal que $\gcd(a,b,c) =1$ ?

Answer 1

Solo necesitamos mostrar cómo de lado $C$ de un triple es lo mismo que el lado $A$de otro triple. Por ejemplo, si tenemos$(3,4,5)$ y $(5,12,13)$, luego

$$A_1^2+B_1^2=C_2^2-K_2^2\quad\text{ is simply }\quad 3^2+4^2=13^2-12^2$$ En este caso "más fácil", $GCD(A_1,B_1,C_2)=1$.

Existe una fórmula para identificar estas coincidencias, si existen. Comencemos con$(33,56,65)\text{ and }(63,16,65)\quad $ y encontrar coincidencias donde $A_2=C_1=65$.

\ begin {ecuación} A = m ^ 2-n ^ 2 \ implica n = \ sqrt {m ^ 2-A} \ qquad \ text {para} \ qquad \ sqrt {A + 1} \ le m \ le \ frac {A + 1} {2} \ end {ecuación} $$A=65\implies \lfloor\sqrt{65+1}\rfloor=8\le m \le \frac{65+1}{2} =33\quad\land\quad m\in\{9,33\}\implies n \in\{4,32\} $$ $$F(9,4)=(65,72,97)\qquad \qquad F(33,32)=(65,2112,2113)$$

Lo que esto significa es $$(33^2+56^2)=(63^2+16^2)=(97^2-72^2)=(2113^1-2112^2)$$

Hay un número infinito de estos porque el lado $A$ incluye cualquier número impar mayor que $1$. Además, aún no lo he probado, pero todos los ejemplos que he visto han demostrado que$GCD(A,B,C)=1$ también se cumple el requisito.