GIT y singularidades

Question

Dejar$G$ser un grupo reductor complejo que actúa sobre una variedad afín compleja$X$y deja$X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$sea ​​el cociente GIT.

¿Existe una relación entre el lugar singular de$X$y el de$X // G$?

Por supuesto,$X//G$puede ser muy singular mientras$X$es suave. Pero, por ejemplo, me preguntaba si (o bajo qué condiciones) los puntos singulares de$X$se asignan a puntos singulares de$X // G$.

Editar. El agradable comentario de Spenser a continuación muestra que la respuesta a esto último es no. Pero quizás una pregunta mejor y más precisa es: Si$X // G$no es singular en$y$, hay un no singular$x \in X$mapeo a$y$? En otras palabras, ¿todas las fibras de$X \to X // G$en puntos no singulares contienen un punto no singular de$X$? Estoy dispuesto a asumir la irreductibilidad u otras buenas propiedades.

Answer 1

Esta es una respuesta a la pregunta revisada. Es el contraejemplo más simple que se me ocurre donde el grupo reductor es suave y está conectado, donde$X$es normal y afín, y donde$Y=X//G$es suave, aunque hay fibras del mapa del cociente que están contenidas en el lugar geométrico singular de$X$.

Dejar$Y$ser$\text{Spec}\ k[x,y,z]$, es decir, afín$3$-espacio. Dejar$G$sea ​​el grupo multiplicativo de unidades,$G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. Dejar$X$ser$\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$donde$f$es el polinomio,$$f=s^2+t(xz-y^2).$$Deja que la acción de$G$sobre$X$ser definido por$$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$el anillo de$G$-polinomios invariantes es el subanillo,$$k[X]^G = k[x,y,z].$$El mapa del cociente es solo la proyección habitual,$$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$Para el denso Zariski abierto$U = D(xz-y^2)\subset Y$, la imagen inversa$q^{-1}(U)$es un$G$-torsor sobre$U$.

El lugar singular de$X$es el soltero$q$-fibra,$q^{-1}(0,0,0)$. Aunque el origen es un punto liso de$Y$, cada punto de este$q$-fibra es un punto singular de$X$.