Grado de extensión de un campo por un elemento trascendental

Question

Dejar$F$ser un campo, y dejar$F(x)$sea ​​el campo de fracciones del anillo polinomial$F[x]$. Me interesa el grado de extensión del campo$[F(x) : F]$. Obviamente es infinito, pero ¿cuál es exactamente su cardinalidad? Lo es$\aleph_0$? ¿Depende del campo?$F$?

Answer 1

Lo natural$F$-base de$F(x)$es$$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$Así (por$F$infinito) la cardinalidad de la base está comprendida entre la de$F$y$F[x]^2$, es decir. es lo mismo que$F$.

Answer 2

Para cualquier campo infinito$F$,$F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$es de igual cardinalidad que$F$, y hay una aplicación sobreyectiva$F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$dada por$(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$(dónde$(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). Ya que$F[x] \times (F[x])^*$es de igual cardinalidad que$F[x]$, el resultado sigue.

Si$F$es finito,$F[x]$es contablemente infinito, y por la misma lógica que arriba,$F(x)$también es contablemente infinito.