Gran momento crucial

Question

Para un universo que es plano, tiene materia y una constante cosmológica, podemos escribir la ecuación de Friedmann de la siguiente manera:

$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$

Entiendo que si el segundo término es negativo ($\Omega_{m,0}>1$) ¡entonces el destino final del universo es que colapsará nuevamente en el Big Crunch!

Entiendo que puedo calcular el valor máximo del factor de escala haciendo $H^{2}=0$ y que puedo reescribir la ecuación anterior como una EDO solo con algo de álgebra para tener la siguiente expresión:

$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$

que relaciona el tiempo cósmico con el factor de escala $a$. Entonces, mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo puedo calcular el tiempo de Big Crunch (por ejemplo, el tiempo que volveremos a tener$a=0$?

Pensé que era el doble de la integral anterior con el límite superior siendo el $a$ a lo que tenemos $H(t) = 0$, pero no tiene mucho sentido para mí. Además, la Introducción a la cosmología de Barbara Ryden dice que el tiempo que estoy buscando es (ecuación 5.98):

$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$

Lo que creo que sugiere que estoy intentando el enfoque equivocado. ¿Alguien me puede ayudar? ¿Cómo puedo encontrar la ecuación anterior?

Answer 1

Esa integral tiene una solución de forma cerrada, $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$

Para un universo que vuelve a colapsar, esto le da solo la mitad en expansión de la evolución, que termina cuando el arcoseno alcanza su valor máximo de $π/2$. Por tanto, la edad total es$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$.