Grupo fundamental de $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$

Question

Me gustaría calcular el grupo fundamental de $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$posiblemente usando el teorema de Van Kampen, hay otra fuente en SE que es ¿Está el espacio proyectivo complejo simplemente conectado? pero va más allá de mi conocimiento real.

Parece que hay mucha diferencia entre el cálculo del grupo fundamental proyectivo real y el complejo sin usar homología, ya que tampoco he encontrado ningún material en libros clásicos.

Lo que me gustaría hacer es proceder por inducción ya que ya sé que $\mathbb{C}\mathbb{P}^{1} \sim \mathbb{S}^{2}$simplemente conectado. Para el paso inductivo me gustaría definir$A = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}- H$, dónde $H = \left\lbrace [x_{0} : \cdots : x_{n}] : x_{0} = 0\right\rbrace$ y $B = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}-[1 : \cdots : 0]$

Yo sé eso $A$ es homeomorfo a $\mathbb{C}^{n}$por lo que tiene un grupo fundamental trivial. Me gustaria probar eso$H$ es una deformación retraída de $B$ para concluir que simplemente está conectado también y concluir ya que la intersección está conectada con la ruta.

Realmente no sé cómo costruir correctamente (es decir, formalmente) la deformación en $H$. ¿Hay formas sencillas o más agradables de hacerlo?

Se agradecería cualquier ayuda, sugerencia o solución que no requiera ninguna teoría más allá de la topología general y el uso de Van Kampen.

Answer 1

Quizás esto ayude. Puedes obtener$\mathbb CP^n$ desde $\mathbb CP^{n-1}$ pegando un disco de dimensión $2n$ usando el mapa canónico $S^{2n-1}\to \mathbb CP^{n-1}$. Por tanto, consideremos la situación que$X$ se obtiene de $Y$ como $Y\cup_f e^{2n}$, a partir de $n=1$. La afirmación es entonces que si$X$ está simplemente conectado, entonces también lo está $Y$. De hecho, debería seguirse que el mapa$Y\to X$ donde se agrega la celda induce un isomorfismo en $\pi_1$.

Para ver esto, considere un bucle en $X$. Argumente (por compacidad o de otro modo) que se puede suponer que el bucle pierde al menos un punto en el interior de$e^{2n}$. Una vez hecho esto, puede utilizar el hecho de eliminar un punto de$e^{2n}$ te permite retraerlo en $Y$, y el bucle en este espacio es contráctil.

Agregar . El mapa$S^{2n+1}\to \mathbb CP^n$también se puede utilizar un poco más directamente aquí. Muestra que$ \mathbb CP^n$ es el cociente de $S^{2n+1}$ por la acción de $S^1$. De hecho, esta proyección es una fibración, y tienes una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía que te da una descripción precisa de los grupos de homotopía de$ \mathbb CP^n$. Vea aquí .