Grupo picard de grupo algebraico lineal conectado

Nov 29 2020

He aquí una declaración:

Suponer $G$ es un grupo algebraico lineal conectado sobre un campo $k$, luego $Pic(G)$ es un grupo finito.

Sé que esto es cierto cuando $k=\mathbb{C}$. Mi pregunta es si esto es cierto para un campo arbitrario$k$? Si no, ¿qué tal además cuando$G$es suave o incluso reductor? ¿Hay alguna referencia?

Gracias por cualquier ayuda.

Respuestas

11 gdb Nov 29 2020 at 10:08

$\DeclareMathOperator\Pic{Pic}$La afirmación es falsa en la mayoría de los campos imperfectos , incluso para esquemas de grupos afines suaves. En particular, es falso sobre cualquier campo imperfecto cerrado separablemente$k$. Daré un ejemplo sobre campos imperfectos de características al menos$3$, pero no es difícil adaptarlo para trabajar en char. 2 también.

Sin embargo, la afirmación es correcta en los campos de características $0$ o si $G$es reductivo. Esto se prueba en la Prop. 4.5 de Knop, Kraft, Luna, Vust - Propiedades locales de las acciones de grupo algebraicas ( DOI ). La prueba está escrita bajo el supuesto de que$\operatorname{char} k=0$ pero se puede adaptar a char. $p$ en el caso de reductivo $G$.

Ejemplo: Let$k$ ser un campo imperfecto separablemente cerrado de característica $p>2$y $U=\operatorname{Spec} k[x,y]/(y^p-x-ax^p)$ para algunos $a\in k \setminus k^p$.

Observación: $U$ es naturalmente un subgrupo de $\mathbf{G}_a^2$. Este es un llamado$k$-forma herida de $\mathbf{G}_a$. Esto, en particular, significa que$U$ es isomorfo a $\mathbf{G}_a$ sobre el cierre algebraico de $k$, es decir $U_{\bar{k}} \cong \mathbf{G}_{a, \bar{k}}$.

Reclamación: $\Pic(U)$ es infinito.

Se comprueba fácilmente que su cierre Zariski $C\mathrel{:=}V(Y^p-XZ^{p-1}-aX^p)$ dentro $\mathbf{P}^2_k$ es una curva regular de género $\frac{(p-1)(p-2)}{2}>0$ tal que $C\setminus U$ es un punto $P$ con campo de residuos $k(a^{1/p})$. Entonces tenemos una secuencia exacta$$ \mathbf{Z}P \to \Pic(C) \to \Pic(U) \to 0 $$ que induce una inclusión $\Pic^0(C) \to \Pic(U)$. Así que basta con mostrar que$\Pic^0(C)$es infinito. Ahora el functor de Picard$\Pic^0_{C/k}$ es representable por un $k$-esquema de dimensión de grupo suave $\frac{(p-1)(p-2)}{2}$. Por lo tanto,$$ \Pic^0(C)=\mathbf{Pic}^0_{C/k}(k) $$ es infinito como $\dim \mathbf{Pic}^0_{C/k}>0$ y $k$ está cerrado separablemente.