Grupos finitos / infinitos

Question

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) Hay infinitos grupos finitos en los que cada elemento no identitario tiene orden $2$.

b) Existe un grupo infinito en el que cada elemento no identitario tiene orden $2$.

c) Existe un grupo infinito en el que hay elementos de orden $n$ para todos $n\in \Bbb N$.

d) Hay infinitos grupos infinitos en los que cada elemento no identitario tiene un orden finito.

Mi intento: la opción 2 parece correcta ya que tengo un ejemplo de tal grupo (el conjunto de potencias de números naturales bajo la operación binaria de diferencia simétrica es uno de esos ejemplos) pero no puedo concluir nada sobre otras opciones.

Sobre la opción 1, parece que es cierto teniendo en cuenta $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$pero todavía estoy confundido. Para las dos últimas opciones, no tengo ninguna idea concluyente que pueda aplicar aquí. Por favor guíe.

Answer 1

(a) Para $n\geq 1$, $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ es un grupo finito cuyos elementos no triviales tienen orden $2$. Entonces, hay infinitos grupos de este tipo.

(segundo) $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ es el grupo deseado.

(c) Puede considerar el ejemplo $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$. Entonces por cada$n\in \Bbb{N}$, $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ es elemento de orden $n$ en $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$.

(d) Para $n\geq 2$, $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$es un grupo infinito cuyos elementos no triviales tienen un orden finito. Entonces, hay infinitos grupos de este tipo.

Answer 2

Si le resulta más fácil conceptualizar, puede considerar que cada elemento es finito, aunque el grupo en su conjunto sea infinito.

Por ejemplo, para (2), podemos tomar cada elemento de $G$ ser una secuencia finita que consta de $1$ y $-1$ y terminando en $-1$(la identidad es la secuencia nula). Encontrar$ab$, multiplicamos los valores de $a$ y $b$ por pares, luego termina la secuencia en el último $-1$. Si son de diferentes longitudes, agregamos$1$ al más corto suficientes veces para que tengan la misma longitud, luego multiplique. $G$ es infinito porque aunque cada elemento individual tiene una longitud finita, hay un número infinito de esas longitudes finitas.

Una estrategia similar funciona para (3) y (4). Para (3), tomamos sucesiones finitas en las que el$n$El valor es un elemento de $\mathbb Z_n$, a menos que la secuencia tenga una longitud de 1, el último valor no es $1$. Para (4), simplemente tomamos variaciones de (3). Por ejemplo, podemos comenzar la secuencia en$\mathbb Z_k$. O tomar$k$ copias de (3), etc.