Hace $\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$ ¿converger?
Considere la siguiente suma (donde $\Im(z)$ denota la parte imaginaria de $z$)
$$\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$$
Es decir;
$$\Im(\lim_{n\to\infty}a_n)$$ $$a_1=e^i,\ \ \ a_{n+1}=a_n+e^{a_n}\ \ \ \forall n\geq1$$
Escribí un código Python genérico ( Pruébelo en línea ) y me sorprendió ver su aparente convergencia con$\approx9.424$
Me preocupa específicamente la parte imaginaria porque la parte real parece divergir logarítmicamente.
¿Esto converge? Si es así, ¿existen otras expresiones para la constante?
Quizás la prueba de Dirichlet pueda ser útil, aunque no sé cómo proceder.
Respuestas
Después de un puñado de iteraciones, hemos alcanzado $$a_n = -b_n + i(3\pi + \varepsilon_n)$$ con $b_n > 0$ y $\lvert \varepsilon_n\rvert < \frac{\pi}{2}$. Luego$$e^{a_n} = -e^{-b_n}\cdot e^{i\varepsilon_n} = -\frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} - i\frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ y $$a_{n+1} = a_n + e^{a_n} = -\biggl(b_n + \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr) + i\biggl(3\pi + \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr)\,.$$ Así $b_{n+1} > b_n$ y $$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ tiene el mismo signo y menor magnitud que $\varepsilon_n$. (Aquí tenemos$\varepsilon_n > 0$, pero para otros valores iniciales uno podría alcanzar partes imaginarias ligeramente más pequeñas que un múltiplo impar de $\pi$.)
Resulta que $\varepsilon_n$ converge, y queda por ver que el límite es $0$. Supongamos que el límite fuera$\delta \neq 0$. Entonces para todos$n$ tenemos $$\lvert \varepsilon_n - \varepsilon_{n+1}\rvert = \frac{\sin \lvert\varepsilon_n\rvert}{e^{b_n}} \geqslant \frac{\sin \lvert\delta\rvert}{e^{b_n}}$$ y se sigue que $$\sum_{n = N}^{\infty} e^{-b_n} < +\infty\,. \tag{$\ ast$}$$ Ya que $$\lvert b_n - b_{n+1}\rvert = \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} \leqslant e^{-b_n}$$ además se sigue que $b_n$ converge, en particular $b_n < B$ para todos $n$ y algo $B$, pero esto contradice $(\ast)$. Por lo tanto$$\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$$ sigue.
No es una prueba completa, sino una fuerte indicación de que
$$\lim_{n\to\infty}\Im(a_n)=3\pi$$
Si el límite converge, entonces
$$\lim_{n\to\infty}(\Im(a_n)-\Im(a_{n+1}))=0$$ Por lo tanto, la solución debe satisfacer
$$\Im(z)=\Im(z+e^{iz})$$ $$\implies\Im(z)=\Im(z)+\Im(e^{iz})$$ $$\implies\Im(e^{iz})=0$$ $$\implies\sin(z)=0$$ $$\implies z=\pi n\ \ \ \forall n\in\mathbb{Z}$$
Considerando el enfoque de estimaciones numéricas $3\pi$(como lo señalaron Stinking Bishop , JG y Gottfried Helms ), o la serie converge a$3\pi$, o de alguna manera oscila muy lentamente entre atractivos puntos fijos de la forma $\pi n$. Si esto es cierto, entonces es curioso que a pesar de la inicialización de$a_1=e^i$, que está mucho más cerca de $\pi n$ para $n\in\{-1,0,1,2\}$, prefiere converger inicialmente hacia $3\pi$.
Tenemos, básicamente,
$S_{n+1}=S_n+\exp(S_n)$
Hacer $S_n=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)$. Luego
$S_{n+1}=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n))$
$=(\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n))+i((k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)))$
Después de lo cual
$\alpha_{n+1}=\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n)$
$\epsilon_{n+1}=\epsilon_n+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)$
Lo que sucede a continuación depende de la paridad de $k$. Si$k$ es par, entonces en el límite de pequeña $|\epsilon_n|$ nosotros rendimos $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to 1$ y $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to \epsilon_n$, así:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n+\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1+\exp(\alpha_n))$
Esto representa una inestabilidad porque el $\epsilon_n$ término se multiplica por un factor mayor que $1$, y peor ese factor crece porque $\alpha_n$esta incrementando. Huimos, en más de un sentido, de esta posibilidad.
Si $k$ es extraño, entonces $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to -1$ y $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to -\epsilon_n$, luego:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n-\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1-\exp(\alpha_n))$
Ahora el $\epsilon$ El parámetro se multiplica por un número positivo menor que $1$, permitiendo una condición estable. También el$\alpha$el parámetro disminuye logarítmicamente; solución de la ecuación en diferencias para$\alpha_n$ da $\alpha_n\sim -\ln n$. As, los puntos fijos estables son mltiplos especficamente impares de$\pi$. Esperaríamos una convergencia a un múltiplo impar en lugar de par de$\pi$.
Hay un pequeño error en este resultado. Porque$\alpha$ está disminuyendo, el multiplicador en $\epsilon$ se acerca $1$, entonces la convergencia de $\epsilon$a cero se ralentiza. Esto puede explicar por qué los resultados numéricos convergen solo lentamente al punto fijo estable en$3\pi$.
Actualización: es probable que la "relación inversa simple" (después de la ecuación 2) sea complicada. No sé si puedo reparar esto
Observación: esta no es una respuesta, sino un ejercicio que podría arrojar más luz sobre todo el problema.
Como Oscar Lanzi comentó en su comentario ("intente establecer el término inicial ..."), he observado el comportamiento de la iteración comenzando en diferentes puntos de partida.
Esto lleva a la cuestión de la función inversa y a intentar si podemos retroceder desde$z_0=\exp(î)$ y mira, que valor $z_{-1}$ iteraría a $z_0$ y así.
Encontré la siguiente función inversa, que necesita un par de parámetros en cada paso.
Dejar $$ f(z) = z + \exp(z) \tag 1$$ entonces la función inversa podría escribirse como $$ g(z,b,k) = \log( \text{LambertW}_b(\exp(z)) + k \cdot 2 \pi î \\ k,b \in \mathbb Z \tag 2$$ [Nota: el () LambertW branchindex$b$ es de acuerdo con alguna implementación de usuario en Pari / GP, podría ser de otro signo o de otra manera diferente en M'ma o Maple et al.]
Entonces, si tenemos $ z_1 = g(z_2, b,k)$ con algunos dados $b,k$, entonces tenemos la relación inversa simple $ z_2 = f( z_1)$ .
Actualización: esto parece solo cierto para subconjuntos de $(b,k)$ y $b$ y $k$ tienen una relación lineal y que también depende de $z_2$. Está mal como afirmación general. Sin embargo, el ejemplo de datos actual (ver más abajo) y la imagen son correctos.
Desafortunadamente, lo contrario no es tan fácil. Si tenemos$ z_2 = f(z_1)$ con un dado $z_1$ entonces los valores apropiados para $b$ y $k$ en $z_1=g(z_2,b=?,k=?)$ debe determinarse empíricamente .
Parece, en la iteración al infinito,$b$-parámetro para LambertW () gobierna la parte real de la convergente y la$k$El parámetro de rama para el log () gobierna la parte imaginaria del convergente
Por ejemplo, para encontrar un posible antecedente de$z_0=\exp(î)$ podemos elegir el parámetro más simple para $g()$ a saber $b=0$ y $k=0$ y obten $$ z_{-1} = g(\exp(î),0,0) = -0.194208607165 + 0.469149782638 î \tag {3.1}$$ Revisalo: $$ f(z_{-1}) = z_0 = 0.540302305868 + 0.841470984808 î = \exp(î) \tag {3.2} $$
Aquí parece que tenemos eso $\Re (f(g(z_0,b,k)))=\Re( z_0)$ independientemente de los valores de $(b,k)$ y solo la parte imaginaria cambia en pasos de $2 \pi$.
Pero evaluando a la inversa,$ g(f(z_0),b,k) = z_0$ solo es correcto con valores únicos en $b$ y en $k$.
Supongo que para las iteraciones de índice, digamos $i=20$, cuando el componente imaginario llega al área de convergencia y también la evolución del componente real se vuelve suave, los parámetros para los pasos hacia atrás $z_{19}=g(z_{20},b_{20},k_{20})$ se vuelven constantes, y de hecho, al revés $z_7$ siempre hemos $ z_{i-1} =g(z_{i},0,2)$.
Ahora, si partimos de $z_7$ más hacia atrás con los mismos parámetros $(b,k)=(0,2)$en cambio ...
... no llegamos a nuestro$z_0 = \exp(î)$ pero a algún otro valor.
Veamos qué parámetros realmente necesitamos cuando retrocedemos desde $z_7$ a $z_6$ y para $z_0$.
Ver las iteraciones$z_0$ a $z_9$ y los parámetros $b_i$ y $k_i$ para cada iteración:
z b k
--------------------------------------+--+--+----------------------
z_0: 0.540302305868+0.841470984808*I 0 0 ---> z_1
z_1: 1.68413794966+2.12135398618*I 1 0 ---> z_2
z_2: -1.13455960996+6.71301817364*I 0 1
z_3: -0.842246816784+6.84701983939*I 0 1
z_4: -0.478178799834+7.07722157180*I 0 1
z_5: -0.0436380449935+7.51933514381*I 0 1
z_6: 0.270773188633+8.42353070970*I 1 1 ---> z_7
z_7: -0.436174626083+9.52756299919*I 0 2 ---> z_8 from here parameters
z_8: -1.07926736567+9.46122892125*I 0 2 are always (0,2)
Comenzando en $z_7$ haríamos $z_6=g(z_7,1,1)$, $z_5=g(z_6,0,1)$, $z_4=g(z_5,0,1)$...
El aspecto más interesante es aquí que podemos iterar de nuevo infinitamente en la dirección hacia atrás (usando $g(,0,2)$) con ese par constante de parámetros $(0,2)$ e iterar aparentemente hacia $- \infty + 4 \pi î$
Aquí está la gráfica de las órbitas parciales de $30$ pasos en $f()$ (color: azul) a saber $z_0$ a $z_{30}$ y luego las órbitas parciales de $63$ pasos en $g( ,0,2)$ (color: dorado) a saber $z_{30}$ a $z_{-32}$.
