Hace $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx$ convergen uniformemente?

Aug 21 2020

Hace $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx \hspace{0.1cm}, \alpha \in ]0,\infty[$$ convergen uniformemente?

Usando la prueba de Dirichlet :

  1. $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \pi/2$
  2. $e^{-\alpha x}$ es decreciente, acotado y va a $0$.

Entonces converge uniformemente.

¿Esta bien? ¿O solo converge uniformemente en$]k,\infty[$ con $k>0$ ?

Respuestas

2 RRL Aug 21 2020 at 02:13

Sugerencia para utilizar la prueba de Dirichlet:

Tenemos $\int_0^c \sin x \, dx$ limitado para todos $c > 0$ e independiente de $\alpha$ y $\frac{e^{-\alpha x}}{x}$ está disminuyendo monótonamente en $x$y uniformemente convergente a$0$ como $x \to \infty$ para todos $\alpha \in [0,\infty)$.