Hace $M = \oplus_i M_i = \sum_j M'_j$ con $M_i, M'_j$ simples implica $M_i \simeq M'_j$ para algunos i, j
Dejar $M$ ser un $R$-módulo. Suponemos que existen dos familias$(M_i)_i$ y $(M'_j)_j$ de submódulos simples de $M$ tal que $$ M = \bigoplus_i M_i = \sum_j M'_j. $$ Hay alguna $i,j$ tal que $M_i \simeq M'_j$?
Respuestas
Por conveniencia de notación, dejaré $I$ y $J$ ser conjuntos de índices para el $M_i$ y $M_j'$.
La respuesta a su pregunta es sí, y de hecho para cualquier $j\in J$ podemos encontrar $i\in I$ con $M_i\cong M_j'$. Para ver esto, deja$f:M_j'\hookrightarrow M$ ser el mapa de inclusión y definir $f_i=\pi_i\circ f$ para cada $i\in I$, dónde $\pi_i:M\to M_i$es el mapa de proyección. No podemos tener todos$f_i$ idénticamente cero, o de lo contrario $f$ sería idénticamente cero, lo que contradice que $M_j'$es simple. Por tanto, hay algunos$i$ con $f_i$distinto de cero. Pero cualquier mapa distinto de cero entre módulos simples es un isomorfismo, por lo que$f_i$ es de hecho un isomorfismo $M_j'\cong M_i$, como se desee.
De hecho, una afirmación similar vale para $I$ en vez de $J$: para cada $i\in I$, podemos encontrar $j$ con $M_i\cong M_j'$. Esto se sigue de (la prueba del) lema 1 aquí ; de hecho, desde$M=\sum_{j\in J}M'_j$, y cada $M'_j$ es simple, hay algunos $J'\subseteq J$ con $M=\bigoplus _{j\in J'}M_j'$. Ahora estamos en condiciones de aplicar exactamente el mismo argumento que el anterior, considerando la composición de las proyecciones$\pi_j:M\to M'_j$ (para todos $j\in J'$) con la inclusión $M_i\hookrightarrow M$.