hace una funcion$f$con la siguiente propiedad existe?

Question

Vi esta pregunta ayer, que pide fijo$n$, existe una función continua$f: [0, 1] \to \mathbb{R}$tal que$$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$La respuesta es sí, y hay muchas formas de construir una respuesta (se puede usar un polinomio de interpolación o simplemente un conjunto de líneas rectas, por ejemplo). Me preguntaba si se podría decir algo más si$n$no es fijo, a saber, lo siguiente:

¿Existe una función continua?$f: (0, 1) \to \mathbb{R}$tal que para todo racional$k / n$en los términos más bajos,$$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$

Si es así, ¿se puede construir uno fácilmente? Y cuán suave puede$f$ser mientras sigue satisfaciendo la propiedad anterior? (Sospecho que la respuesta es que existe una continuación analítica.)

Answer 1

La respuesta es no. Considerar$\alpha \in (0,1)$cualquier número irracional, y$\frac{p_n}{q_n}$cualquier secuencia de fracciones irreducibles que convergen a ella.

Después$f(p_n/q_n) \rightarrow f(\alpha)$.

Pero es fácil ver que$q_n \rightarrow \infty$y por lo tanto$\binom{q_n}{p_n}^{-1} \leq q_n^{-1}$va a cero.

Asi que$f$es cero en todos los irracionales por lo que es idénticamente cero, una contradicción.

Answer 2

Tenga en cuenta que${2n-1\choose n}\approx{2n\choose n}\approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$de modo que$$\lim_{n\to\infty}f(\tfrac n{2n-1})=0\ne f(\tfrac12) $$