Hamiltoniano para partícula de carga en campo electromagnético en aproximación dipolar

Aug 15 2020

¿Por qué el hamiltoniano $$ H = \frac{1}{2m}\left(\vec{p}-q\vec{A}\right)^2+q\Phi + V $$ ser transformado en $$ H = \frac{1}{2m}\vec{p}^2 - q \vec r \vec E + V $$ en la aproximación dipolo, en la que el potencial vectorial $\vec{A}$ (y, como consecuencia, el campo eléctrico $\vec{E}$) se supone que son constantes en el espacio?

Hasta ahora, he encontrado tres enfoques para derivar el segundo hamiltoniano.

  1. Expandir la expresión cuadrática y descuidar $q^2 \vec{A}^2$. Si bien esto se aplica con frecuencia en la literatura, en realidad no se requiere en la aproximación de dipolos.
  2. Transforma las funciones de onda resultantes $\psi' = \exp(-\mathrm{i}\hbar^{-1}q\vec{r}\vec{A})\psi$, como se describe, por ejemplo, en Meystre "Elements of Quantum Optics". Pero, ¿por qué es válida esa transformación? Claramente, la distribución de probabilidad$|\psi'|^2 = |\psi|^2$ no cambia, pero no es exactamente una transformación de calibre, ¿verdad?
  3. Maria Goeppert-Mayer [1] afirma que el lagrangiano correspondiente al primer hamiltoniano en este post es equivalente a otro lagrangiano, que se deriva sumando el diferencial total $\mathrm{d}_t(\vec{r} \vec{A})$. El segundo lagrangiano se puede convertir en el segundo hamiltoniano en este artículo. Pero, ¿por qué es válida esta adición?

[1] Göppert ‐ Mayer, Maria. "Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen". Annalen der Physik 401.3 (1931): 273-294.

Respuestas

2 carlosvalderrama Aug 23 2020 at 16:35

Con la esperanza de que pueda ser útil para algunos, me gustaría publicar un breve resumen de mis hallazgos.

Observamos que el impulso canónico $\vec{p}'$ es diferente del impulso mecánico $\vec{p} = m \vec{v}$en el primer hamiltoniano. Nuestro objetivo es derivar una forma en la que coincidan ambos momentos. Esto se puede lograr agregando una diferencia de tiempo total al Lagrangiano, como se describe en el artículo de M. Goeppert-Mayer. En este artículo y las referencias que contiene, se explica a fondo por qué la ecuación de Euler-Lagrange es invariante a esta operación. Gracias a @Philip por indicármelo.

En el ámbito del formalismo hamiltoniano, esta operación corresponde a una transformada canónica. Aquí, encontré esta respuesta muy útil. Basándonos en esta respuesta, usamos la transformación$$\vec{r}' = \vec{r}$$ $$\vec{p}' = \vec{p} + \nabla_\vec{r} F $$ $$H' = H - \partial_t F$$ y definir $F = - q \vec{r} \vec{A}$.

Observamos que el potencial vectorial $\vec{A}$ se supone que es constante en el espacio (al menos en las dimensiones del sistema mecánico cuántico), de modo que $$\vec{p}' = \vec{p} - q A$$ y escribe para el nuevo hamiltoniano $$H'(\vec{r}, \vec{p}', t) = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V + \partial_t q \vec{r} \vec{A} = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V - q \vec{r} \vec{E}.$$

Nota 1: El potencial escalar $\varphi$ generalmente se supone que es cero en las derivaciones que he visto hasta ahora.

Nota 2: Al abordar la sutileza mencionada aquí , es útil saber que$\partial_{\vec{r}}^2 F = 0$.