Homomorfismo de $k$-algebras inducen homomorfismo de espectro máximo
por $k$ un campo algebraicamente cerrado, definimos un afín $k$-álgebra para ser una generación finita $k$-álgebra que se reduce (es decir $\sqrt{(0)} = (0)$). Para una afinidad$k$-álgebra $A$, definimos $\operatorname{specm} A$ser el conjunto de ideales máximos. Entonces tenemos la siguiente proposición:
Si $\alpha: A \rightarrow B$ es un homomorfismo de afín $k$-álgebras, luego $\alpha$ induce un mapa continuo de espacios topológicos $\phi: \operatorname{specm} B \rightarrow \operatorname{specm} A$ donde para un ideal máximo $m \subset B$,
$$ \phi(m) = \alpha^{-1}(m). $$
Tengo problemas para entender la primera mitad de la prueba, que es la siguiente:
Prueba:
Para cualquier $h \in A$, $\alpha(h)$ es invertible en $B_{\alpha(h)}$ (que denota la localización de $B$ a $\alpha(h)$), por lo que el homomorfismo $A \rightarrow B \rightarrow B_{\alpha(h)}$ se extiende a un homomorfismo $$ \frac{g}{h^m} \rightarrow \frac{\alpha(g)}{\alpha(h)^m}: A_h \rightarrow B_{\alpha(h)} $$
Para cualquier ideal máximo $n \in B$, $m = \alpha^{-1}(n)$ es máximo en $A$ porque $A/m \rightarrow B/n$ es un mapa inyectivo de k-álgebras que implica que $A/m$ es $k$.
No creo que el paso 1 se use en ningún otro lugar de la demostración, así que parece que el paso 2 debe ser una consecuencia del paso 1. ¿Alguien podría explicar cómo? En particular, ¿es el paso 1 la razón por la que el mapa del paso 2 es inyectivo? ¡Gracias!
Respuestas
No sé dónde estás leyendo, pero esto parece demasiado complicado. Suponer que$\alpha: A\to B$ es un mapa de $k$-álgebras donde $A$ y $B$son de tipo finito. Dejar$\mathfrak{m}$ser un ideal máximo. Queremos demostrar que$\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$es un ideal máximo. Sin embargo, tenga en cuenta que el mapa inducido
$$\alpha:A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})\to B/\mathfrak{m}$$
es inyectable sice si $\alpha(a\alpha^{-1}(\mathfrak{m}))=\alpha(a)\mathfrak{m}$ es cero, entonces esto dice que $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ así que eso $a\in \alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ que dice que $a\alpha^{-1}(m)$ es cero.
Ahora, observemos que si bien podríamos estar preocupados de que $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$no es máximo, ciertamente es primo. De hecho, si$ab\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ luego $\alpha(ab)\in \mathfrak{m}$. Pero, esto implica que$\alpha(a)\alpha(b)\in\mathfrak{m}$ entonces entonces tampoco $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ o $\alpha(b)\in\mathfrak{m}$. Pero, esto significa precisamente que$a\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ o $\alpha^{-1}(b)\in\mathfrak{m}$. Ya que$a$ y $b$ fueron arbitrarios vemos que $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$es primo como se desea ( NB: por supuesto, esto no usó eso$\mathfrak{m}$ es máxima y funciona para cualquier ideal principal).
Entonces, vemos que $\alpha$ induce una inclusión del dominio integral $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ en el campo $B/\mathfrak{m}$. Si estuviéramos tratando con anillos arbitrarios, entonces este sería el alcance total de lo que realmente podríamos decir. Pero, el hecho de que estemos tratando con tipos finitos$k$-álgebras es lo que dice el día.
¿Cómo es eso? Por el Nullstellensatz desde$B$ es una dimensión finita $k$-álgebra tenemos eso $B/\mathfrak{m}$ es una dimensión finita $k$-¡álgebra! Entonces, en particular, desde$A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ incrusta en $B/\mathfrak{m}$ como un $k$-álgebra vemos que $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ es un dominio integral que también es un $k$-álgebra que es de dimensión finita sobre $k$. Esto es suficiente.
Es decir, en absoluta y completa generalidad si $\ell$ es un campo y $R$ es un dominio integral que es un $\ell$-alebracon $\dim_\ell R<\infty$ luego $R$ es un campo.
¿Por qué? Necesitamos mostrar eso para cualquier$r\in R$ que es distinto de cero que $r$tiene un inverso multiplicativo. Pero esto solo significa precisamente que el mapa
$$m_r:R\to R:x\mapsto rx$$
es invertible, evidentemente si $r$ tiene un inverso multiplicativo entonces $m_r^{-1}=m_{r^{-1}}$ y si $m_r$ es invertible entonces $1$ está en la imagen de $m_r$ lo que significa que existe $x$ tal que $1=m_r(x)=rx$.
Pero tenga en cuenta que desde $R$ es un dominio que $m_r$ es inyectivo, si $m_r(x)=0$ luego $rx=0$ lo que implica, por la propiedad de dominio, que $x=0$ ya que $r\ne 0$. Pero tenga en cuenta que$m_r$ es claramente un mapa de $k$-espacios vectoriales, y dado que cualquier endomorfismo inyectivo de un espacio vectorial de dimensión finita es un automorfismo, ¡ganamos!