IDTFT de convolución en el dominio de frecuencia

Question

Lo he probado todo. Si realmente sabe cómo resolver esto, ¿podría darnos una pista?

$$ e^{-2j\Omega}\frac{ \sin\left( \frac{7\Omega}{2}\right)}{ \sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)}\star \frac{\sin\left( \frac{10 \Omega}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right) }$$

Idealmente, me gustaría encontrar el Fourier de cada "fracción" por separado y luego usar las propiedades: $x(n - n_o) \rightarrow e^{-jn_0\Omega}X(\omega)$ así que no me importa $$ e^{-2j\Omega}$$ pero tengo 2 problemas:

1. No puedo usar $\displaystyle \frac{\sin\left(\left(n+\frac 12\right)\Omega\right)}{\sin\left(\frac \Omega 2\right)}$ para $(n+1/2) = 10/2$ porque $n \in Z$
2. En DTFT, en mi libro no hay propiedad como en tiempo continuo para transformar la convolución en $\Omega$ dominio a la multiplicación en el dominio del tiempo, así que no sé qué hacer aquí también.

actualización:
Luego de algunos comentarios y ayuda de personas que respondieron: voy a intentar hacerlo como juch$\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}= \frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}e^{j\Omega(10-1)/2}=\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2}$

Voy a aprovechar la propiedad: $\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2} \rightarrow 2\pi F^{-1}{\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]} * F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]$
El resultado es :
$F^{-1}[e^{j9\Omega/2}] =$ $\frac{1}{2\pi}int_{\pi}^{\pi}e^{j9\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(9/2 +n)}}{j(9/2+n)}\Big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{2\pi(n+9)}$ ( Yo creo que)

y $F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]=1$ para $n \in [0,9]$y 0 en cualquier otro lugar.
Ahora necesitamos calcular la convolución de esos 2:
el resultado debe ser distinto de cero solo cuando$n \in [0,9]$ entonces:
$F^{-1}\Big[\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}\Big]e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big] = \begin{cases} \frac{4(-1)^n}{(n+9)} & n \in [0,9] \\ 0 & else \end{cases}$

Answer 1

Me parece que este ejercicio está destinado a combinar las propiedades básicas de DTFT (reunidas aquí: Tabla de propiedades de DTFT ). Matt describió la propiedad producto / convolución. También obtienes el cambio de tiempo / modulación compleja. Sospecho (pensé que no hice los cálculos) que el problema con el factor$10$ podría abordarse con un cambio de variable: $10\Omega = 5\times (2\Omega)$y el uso de la propiedad de escala de tiempo (expansión) (consulte Escala de tiempo de secuencias de tiempo discreto y la DTFT ):

$$ S(c\Omega) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x[n/c] \textrm{ if } n/c \textrm{ is an integer } \\ 0 \textrm{ otherwise.} \end{array} \right.$$

Otras sugerencias giran en torno a los núcleos de Dirichlet :

$$D_N(x) =\frac{\sin\left(\left(N +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}$$

También se denominan asinc o psinc ( alias o seno cardinal periódico o sinc) y se relacionan con las ventanas discretas de soporte finito. Si$*$ es el signo de convolución, la resolución puede utilizar las propiedades de producto / convolución de Fourier.

Y de manera más general (en la parte inferior de la página sobre kernels de Dirichlet ), tiene la identidad:

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\Omega} = e^{j(N-1)\Omega/2}\frac{\sin(N \, \Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}\,,$$

que relaciona la DTFT de una ventana de tiempo discreta $w_{[0,N-1]}$ (del índice $n=0$ a $n=N-1$) a relaciones de senos con un término de corrección de fase. Puede comprobar los detalles en la transformada de Fourier de tiempo discreto de una función de ventana .

Answer 2

También en tiempo discreto tenemos la correspondencia entre la multiplicación en un dominio y la convolución en el otro dominio:

$$x[n]y[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})\tag{1}$$

donde la convolución en el dominio de la frecuencia se define por

$$X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})=\int_{-\pi}^{\pi}X\big(e^{j\theta}\big)Y\big(e^{j(\omega-\theta)}\big)d\theta\tag{2}$$

El DTFT

$$H_N(e^{j\omega})=\frac{\sin\left(\frac{N\omega} {2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)},\qquad N\textrm{ odd}\tag{3}$$

corresponde a una secuencia de dominio del tiempo muy simple. Estoy seguro de que puedes seguir desde aquí.