IMO 1998 - Combinatoria

Question

Estoy tratando este problema de combinatoria IMO$1998$P2 que dice así:

En una competencia hay$m$concursantes y$n$jueces, donde$n \geq 3$es un entero impar. Cada juez califica a cada concursante como "aprobado" o "reprobado". Suponer$k$es un número tal que, para dos jueces cualquiera, sus calificaciones coinciden como máximo$k$concursantes Pruebalo$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

Estoy completamente desconcertado sobre cómo empezar, ¿podría darme alguna pista?

Answer 1

Considere el número de combinaciones$(\{j_1, j_2\},c)$, dónde$\{j_1, j_2\}$es un par de jueces distintos, y$c$es un concursante en el que están de acuerdo. Puede llegar a esta cantidad de dos maneras:

1. Suma sobre concursantes, el número de parejas de jueces que se ponen de acuerdo sobre ellos.

2. Suma sobre parejas de jueces, el número de concursantes que acuerden.

Entonces, la cantidad que se suma en 1. se puede acotar a continuación mediante una expresión que implica$n$(recuerda$n$es impar), mientras que la cantidad que se suma en 2. puede estar limitada por arriba por$k$. La combinación produce la desigualdad deseada.