incrustación de$\sqrt{|i-j|}$distancia en$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Question

Considere el espacio métrico$(X=\{1,\ldots,n\},d)$tal que:

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

Pueden$(X,d)$estar incrustado isométricamente en$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Si ese es el caso, ¿podemos encontrar alguna isometría natural?$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?

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Para agregar algo de contexto, considero la caminata aleatoria:

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

donde el$X_i$son gaussianas estándar independientes.$S=(S_1,\ldots,S_n)$se distribuye normalmente (porque también lo son sus proyecciones a lo largo de cada dirección), por lo que debería existir$a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$tal que:

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

dónde$g$es un$n$Gaussiana estándar -dimensional. Pero resulta:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

lo que implica la existencia de la incrustación. Me preguntaba si existe una prueba explícita de eso (¡seguramente, debe haberla!).

Answer 1

Aquí hay una incrustación de este tipo: define$$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$