Infimum de particiones-set

Question

Dejar $A\neq \varnothing$ y denotar por $\operatorname{Part}(A)$ el conjunto de particiones de $A$. por$S,S' \in\operatorname{Part}(A),$ establecimos $$ S\leq S' :\!\!\iff \forall C \in S: \exists C'\in S': C\subseteq C'. $$

Dejar $T\subseteq \operatorname{Part}(A)$. Muestra esa$T$ tiene un mínimo con respecto a $\leq$.

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De hecho, me gustaría mostrar eso $$ \inf T = \left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : \forall S \in T, C_S\in S\right\}. $$

¿Puedo escribir esto sin usar el axioma de elección?

Si no es así, ¿de qué otra manera hay para probar la $\inf T$, si es que hay alguno?

Answer 1

BOSQUEJO: Para cada $S\in\operatorname{Part}(A)$ y $a\in A$ dejar $[a]_S$ ser parte de $S$ eso contiene $a$. Observa eso$S\le S'$ si $[a]_S\subseteq[a]_{S'}$ para cada $a\in A$. Dado$T\subseteq\operatorname{Part}(A)$, para cada $a\in A$ dejar $C_a=\bigcap_{S\in T}[a]_S$, y deja $C=\{C_a:a\in A\}$.

• Muestra esa $C\in\operatorname{Part}(A)$. Está claro que$\bigcup C=A$, así que solo tienes que demostrar que si $a,b\in A$y $C_a\ne C_b$, luego $C_a\cap C_b=\varnothing$.

Claramente $C_a\subseteq[a]_S$ para cada $S\in T$, por lo que en este punto puede concluir que $C\le S$ para cada $S\in T$.

• Entonces demuestre que si $L$ es un límite inferior para $T$, luego $L\le C$. Puede hacer esto mostrando que si$L$ es un límite inferior para $T$, entonces debe ser cierto que $[a]_L\subseteq C_a$ para cada $a\in A$.

Nada de esto requiere el axioma de elección.

Answer 2

Dejar $X=\left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : C_S\in S\right\}.$ Observa eso $X\in\operatorname{Part}(A)$.

En primer lugar, mostramos que $X\le S$, para todos $S\in T$. Dejar$L\in X$, luego $L=\bigcap_{S\in T} C_S$, con $C_S\in S$. Obviamente,$L\subseteq C_S$ para todos $S\in T$, Eso significa que $X\le S$ para todos $S\in T$. Entonces$X$ es un límite inferior.

Ahora mostramos que $X$ es el límite inferior más grande, es decir, para todos $Y\in\operatorname{Part}(A)$ tal que $Y\le S$ para todos $S\in T$, $Y\le X$. Suponer$Y$ es tal elemento, y deja $M\in Y$. Ahora porque$Y\le S$, para todos $S\in T$, tenemos $M\subseteq C_S$, para algunos $C_S\in S$, para todos $S\in T$. Obviamente$M\subseteq\bigcap_{S\in T}C_S$y $\bigcap_{S\in T}C_S\in X$. Entonces$Y\le X$y $X$ es el mínimo de $T\subseteq\operatorname{Part}(A)$.