Integración de par para un bucle de corriente circular en campo magnético [cerrado]
Estoy tratando de derivar la fórmula para Torque en un bucle de corriente circular dentro de un campo magnético. Sé que la fórmula es:
$\tau = IAB\sin{\theta}$
Donde I es la corriente, B es el campo magnético y A es el Área.
Mi intento hasta ahora:
$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$
Ahora, si la fórmula para Torque es: $\tau=bF\sin{\theta}$y $b = r\sin{\alpha}$, entonces
$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$
En última instancia, si tomo la integral de esta última ecuación, no puedo entender exactamente cómo integrar $\sin{\alpha}^2\,ds$.
Supongo que mi malentendido subyacente radica aquí: puedo decir cuál es la integral de $d\vec{s}\times \vec{B}$será, ya que conozco el diámetro del círculo. Sin embargo, creo que no hay forma de expresar$\sin{\alpha}$ con respecto a $ds$.
¿Me estoy entendiendo mal? Gracias
Respuestas
No usaste notaciones vectoriales, por lo que parece bastante terrible. Además, has usado$M$ para torque (debería ser $\tau$) en lugar de por momento magnético (que son símbolos generalmente aceptados).
Prueba:
Un bucle circular se encuentra en $x-y$ avión con raduis $r$ y centro en origen $O$. Lleva una corriente constante en sentido antihorario. Hay un campo magnético uniforme$\vec B$ dirigido a lo largo de positivo $x$-eje.

Considere un elemento $d\vec s$ en el anillo en un ángulo $\theta$ subtiende un ángulo $d\theta$Al origen. El par en este elemento viene dado por
$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$
Nota: me salté la parte de cálculo. Además, también puede tomar$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, He tomado solo $x$-componente por simplicidad. El resultado será el mismo. Lo mismo ocurre con la forma del conductor, no importa si es cuadrado o circular.
Resolví esto al darme cuenta de que ds es en realidad $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ por la fórmula del acorde de longitud.
En resumen, escribiendo realmente $d\vec{s}\times \vec{B}$ en términos de $\alpha$.