Integración de Rieman, mapeo discontinuo

Question

Probar $f\in\mathcal{R}$, cuando $f:[0,2]\to \Bbb{R}$, tal que $f(x)=x$ cuando $x \neq 1$y $f(x)=-1$, cuando $x=1$. Entonces$f$ tiene una discontinuidad en $1$.

Dejar $P$ ser una partición de $[0,2]$, tal que $P=\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots\frac{n-2}{n}<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\cdots2\}$.

Con esta partición, consideramos solo aquellos subintervalos, que se encuentran a la izquierda o derecha de $1$. Esto se debe a que el subintervalo$\Delta x_i$, que contiene el punto de discontinuidad, no tiene un supremo $M_i$correspondiente a ella. Más bien,$M_i$ está arbitrariamente cerca de $1$ y esto es un gran dolor de cabeza en términos de prueba.

Aquí está la prueba real. Dejar$P$ser como el anterior. Entonces$$U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n\Delta x_iM_i-\sum_{i=1}^n\Delta x_im_i=\frac{1}{n}\Biggr(\sum_{i=1}^nM_i-m_i\Biggr)$$

y en este caso $\sum_{i=1}^nM_i-m_i=2-(-1)=3$. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Elegiste una partición $P$ con puntos

$$\underbrace{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\frac{n-2}{n}}_{x_0,x_1,\ldots, x_{n-2}},\,\underbrace{1+\frac{1}{n},\,1+\frac{2}{n},\,\cdots,\,2}_{x_{n-1}, x_{n-2},\ldots,x_{2n-1}}$$

En este caso,

$$U(P,f) - L(P,f) = \sum_{j=1}^{2n-1}(M_j - m_j) (x_j - x_{j-1}) \\ =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n-2}\left(\frac{j}{n} - \frac{j-1}{n}\right) + \frac{3}{n}\left(1 + \frac{1}{n} -(-1) \right)+ \frac{1}{n}\sum_{j=2}^{n}\left(1+\frac{j}{n} - \left(1+\frac{j-1}{n}\right)\right)\\ = \frac{n-2}{n^2} + 3\frac{2+ 1/n}{n} + \frac{n-1}{n^2} = \frac{8}{n}, $$

que tiende a $0$ como $n$ tiende a $\infty$.

Por tanto, para cualquier $\epsilon > 0$ podemos encontrar una partición tal que la diferencia entre las sumas superior e inferior sea menor que $\epsilon$, demostrando que $f$ es integrable por el criterio de Riemann.