Intercambio de series e integrales

Question

Sé que puedo usar el teorema de convergencia de Lebesgue o monótono para intercambiar el límite de sumas parciales y una integral de Lebesgue, dada una serie de potencias o una serie de funciones genéricas. Pero en general dada una serie$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ que converge y define $\int_0^\infty\sum_{n=0}^{\infty}a_n f_n(u)du$ con $f_n(u)$integrable, me preguntaba cuándo podría intercambiar la integración y la serie. En particular en el contexto de la suma de Borel, dado$\int_0^\infty e^{-u} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nu^n}{n!}du$, Me preguntaba cómo podría demostrar que si $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$converge, entonces puedo intercambiar la integral y la serie. (Lo sé para series de poder$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ el trabajo se puede hacer usando el radio de convergencia y siempre puedo encontrar un dominante)

Answer 1

Como sugirió Gerald Edgar, podemos usar el teorema de Fubini-Tonelli. Según el teorema de Tonelli,$$\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\Big|e^{-u} \frac{a_nu^n}{n!}\Big|\,du =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{n!}\int_0^\infty e^{-u} u^n\,du =\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty.$$ Entonces, el teorema de Fubini es aplicable, es decir, se puede intercambiar la integral y la serie.