Interpretación de notas de variación
Me gustaría una explicación de cómo se tomó esta derivada parcial lagragiana (ecuación 3). Esto probablemente sea más adecuado para el intercambio de pila de matemáticas, sin embargo, esto es para un curso de física, por lo que estoy publicando aquí. Basado en la definición de expansión de Taylor:
No entiendo cómo ni por qué es solo lo parcial es wrt $q_i$ y no todas las otras variables para el segundo término, junto con por qué es solo wrt $\dot{q}_i$en el tercer trimestre. Además, parece que no hay constantes que se estén multiplicando contra cada función ni cualquiera que sea la$(x-a)$término podría ser. La derivada completa se define en la ecuación. 5 pero no coincide con las derivadas completas de la ecuación. 3 debería ser:
Se agradecería un desglose completo de las matemáticas o, al menos, una explicación formulada general.
Respuestas
Su definición de la serie de Taylor en una variable para derivadas de primer orden es
$$ f(x) = f(a) + \frac{\partial f}{\partial x}(a)(x-a) $$
Observe que descuidamos los términos de orden superior. En dos variables esto se vería así
$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1)+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)(x_2-a_2) $$
Cambiemos la notación para que $\delta x = (x-a)$, que representa un cambio infinitesimal en los parámetros. La serie de Taylor anterior es
$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)\delta x_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)\delta x_2 $$
Ahora bien, ¿qué pasa si tuviéramos muchas variables? Podemos modificar la expresión anterior para
$$ f(\vec x) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f(\vec a)}{\partial x_i}\delta x_i $$
Ahora, ¿qué sucede si la mitad de las variables se agrupan naturalmente (todas las posiciones y también todas las velocidades), por qué no escribimos esto para cada dimensión $i$, específicamente sacando ambos tipos de variables.
$$ f(x_1, \dots,x_n,y_1,\dots ,y_n) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec a)\delta x_i+ \sum_i\frac{\partial f}{\partial y_i}(\vec a)\delta y_i $$
pero, dada la notación de suma de Einstein, sabemos que la suma está implícita, de modo que podríamos eliminar los signos de suma si quisiéramos.
La acción está definida por
$$ S = \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$
dónde $q_i$ y $v_i$son la posición y la velocidad en cada dimensión. Una variación en la acción es la serie de Taylor de primer orden en las posiciones y velocidades menos la acción no molestada.
$$ \delta S = \int dt\bigg\{L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t) + \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} - \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$
Lo que simplifica a
$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} $$
Cuál es tu resultado final. Para llegar a las ecuaciones de Euler-Lagrange, podemos establecer$v_i=\dot q_i$ (es decir, solo cuando la velocidad es la derivada en el tiempo de la posición, la solución es una ruta extrema de la acción, pero eso es solo detalles).
$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i\bigg\} $$Para continuar con esta expresión, es útil recopilar las variaciones en cada dimensión para que podamos sacarlas de la ecuación juntas. Esto se puede lograr ya que$\dot q_i = d_tq_i$ y por lo tanto, el término final puede integrarse por partes para producir
$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_i\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg\}\delta q_i + \delta q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg|^2_1 $$
El término final es un término límite y este desaparece debido a la imposición de que la variación desaparece en este punto, es decir, $\delta q=0$. Obtienes la ecuación de Euler-Lagrange después de imponer solo soluciones extremas$\delta S=0$.