Intuición para matar

Question

Dado un álgebra de mentira real $\mathfrak{g}$, la forma de matar $K:\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathbb{R}$ Se define como $K(X,Y)=tr(ad(X)\circ ad(Y))$. Quiero una forma de visualizar esto.

Suponer $\mathfrak{g}$ es el álgebra de Lie de un grupo de Lie $G$. Entonces$Ad(x):\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ es la acción inducida sobre $\mathfrak{g}$ de la conjugación por $x \in G$. $ad(X)(Y)$ es entonces el diferencial de $Ad(e^{tX})$ a $t = 0$, por lo que se puede pensar en la dirección en la que la conjugación por $e^{tX}$ dirige $Y$ hacia, para pequeño $t$. Estas son cosas que puedo visualizar.

Dado $X$,$Y$ vectores tangentes a $G$ en la identidad, ¿cómo puedo visualizar $K(X,Y)$?

Answer 1

El punto importante de la forma Killing son sus propiedades de invariancia. Para verlos, puede seguir el comentario de @ Dietrich_Burde y comenzar a pensar en matrices. Como recordará, al ver$M_n(\mathbb R)$ como $\mathbb R^{n^2}$, el producto interno estándar se puede escribir como $\langle X,Y\rangle=tr(X^tY)$. Ahora si miras$(X,Y):=tr(XY)$en cambio, pierde definición positiva, pero aún obtiene una forma bilineal no degenerada. Sin embargo, esto tiene la ventaja de que tiene propiedades de invariancia mucho mejores, ya que para cualquier matriz invertible$A$, usted obtiene $(AXA^{-1},AYA^{-1})=(X,Y)$. (La propiedad correspondiente para$\langle X,Y\rangle$ se mantiene solo para matrices unitarias $A$.) Ahora esta propiedad de invariancia le dice a usted, que la forma bilineal $(\ ,\ )$ en realidad, no solo está bien definido en matrices sino en mapas lineales, ya que las diferentes representaciones de matrices están relacionadas por conjugación.

Ahora, si pasas a un álgebra de Lie abstracta $\mathfrak g$, esto no consta de matrices. Pero la representación adjunta, que es un objeto canónico, mapea$\mathfrak g$ a un álgebra de Lie que consta de mapas lineales, principalmente en $L(\mathfrak g,\mathfrak g)$. Si$\mathfrak g$ tiene un centro trivial, entonces la representación adjunta es inyectiva y, por lo tanto, identifica $\mathfrak g$con un álgebra de Lie de mapas lineales. Y luego simplemente retira el formulario de seguimiento para$\mathfrak g$a través de este isomorfismo. Por construcción, el resultado debe tener buenas propiedades de invariancia y si$\mathfrak g$ es semisimple, resulta no degenerado.