Inversa a la derecha si y solo si en
Estoy tratando de probar el siguiente resultado.
Pruebalo $f: X \to Y$está sobre si y sólo si posee un inverso derecho. Luego demuestre que esta inversa no es necesariamente única (es decir, cuando$f$ no es inyectable).
Esto es lo que se me ocurrió, aunque en particular, mi "prueba" de falta de unicidad no es muy rigurosa.
Prueba. Suponer$f: X \to Y$es sobreyectiva. Dejar$y \in Y$, entonces existe $x \in X$ tal que $f(x) = y$. Aunque esto$x$ puede no ser único, definimos el mapeo $g: Y \to X$ por la regla $g(y) = x$, utilizando el axioma de elección. Para cualquiera$y$ con la propiedad que $g(y) = x$, tenemos: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ entonces $f \circ g = i_Y$y $g$es una inversa a la derecha. Por el contrario, suponga$f$ posee una inversa derecha, $g: Y \to X$ con la propiedad que $f \circ g = i_Y$. Dejar$y \in Y$. Luego$g(y) = x$ para algunos $x \in X$. Entonces, observamos que$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ entonces $f$es sobreyectiva. Este inverso a la derecha no es único porque necesitábamos invocar el axioma de elección para definir$g(y) = x$ para algunos $x$. En el caso donde$f$ no es inyectable, dado cualquier $y \in Y $, hay potencialmente infinitos $x$ tal que $f(x) = y$, y podríamos definir $g(y)$ para ser igual a cualquiera de esas x, cada una de las cuales daría una inversa derecha igualmente válida.
¿Cómo se ve esta prueba? ¿Es este un uso apropiado de elección? ¿Hay alguna manera de hacer más rigurosa la prueba de la falta de unicidad?
Gracias por adelantado.
Respuestas
Tu prueba si y solo si me parece bastante buena. Sin embargo, su prueba de no exclusividad es un poco endeble.
Para demostrar la no unicidad es suficiente (y casi siempre más fácil) mostrarlo con un ejemplo. Puedes cocinar cualquier ejemplo, pero aquí está el primero que me vino a la cabeza.
Suponer que $X=\mathbb{R}^2$ y $Y=\mathbb{R}$ con $f:X\to Y$ siendo $f(x,y)=x$. Claramente esta función está activada. Ahora define el siguiente mapa$S_1:Y\to X$ por $S_1(x)=(x,0)$. No debería costar mucho convencerte de que$f(S_1(x))=i_Y$.
Además el mapa $S_2:Y\to X$ definido por $S_2(x)=(x,x)$ también dará $S_2(f(x))=i_Y$. Pero$S_1\neq S_2$ así que hemos demostrado que hay dos funciones que producen el resultado deseado que no son iguales (y por lo tanto la inversa no necesita ser única).